Den lyder: ”Beräkna riktningsderivatan i riktningen (-4, 2, -4) av funktionen:

I punkten (2, 2, 1).

Det jag börjar med är då att ta fram partialderivatorna för x, y och z.
Det svåraste i hela denna uppgift är förövrigt att ta fram partialderivatan för x.

df/dx ger att vi ska använda kvotregeln, om du liksom jag ej har denna i huvudet kommer här en supersnabb repetition.

alltså df/dx = (1*y^2*z^3*(2+x)-xy^2*z^3*1)/((2+x)^2)
df/dy = (2xyz^3)/(2+x)
df/dz = (3xy^2*z^2)/(2+x)

Nu ska vi beräkna vår enhetsvektor:
e = v/|v| = (-4, 2, -4)/(roten ur (-4^2 + 2^2 + -4^2)) = (-4, 2, -4)/(roten ur 36) = (-4, 2, -4)/6 = (-2/3, 1/3, -2/3)

Om vi nu sätter in vår punkt i partialderivatorna så får vi ∇f = (df/dx, df/dy, df/dz) => ∇f(2, 2, 1) = (4*4-2*4)/((2+2)^2), (2*2*2)/(2+2), (3*2*2^2)/(2+2) = (1/2, 2, 6)

Sedan multiplicerar vi detta med enhetsvektorn för att få fram riktningsderivatan:
(-2/3, 1/3, -2/3)*(1/2, 2, 6) = (-1/3 + 2/3 – 4) = -11/3.

Slutet gott.
Allting gott.

Här har ni hela min lösning:

Pusshej!
Feedback skickas gärna till ollegz@kth.se, då jag inte är den bästa på matte! Eller kommentera nedan!
Har du ett tal till nästa vecka, skicka gärna tips till mig!

Såhär kommer första delen i denna serie om flervarre-tal.
Uppgift 1.17 från ”Övningar i Analys i Flera Variabler”.

Den lyder: ”Temperaturen i en punkt (x, y, z) i en kropp är:
T(x, y, z) =
Beskriv nivåytorna för nivåerna 0, 1, 2 och 3.”

Då brukar jag börja med att skriva det vi vill ha ut, vilket är:
T(x, y, z) = 0
T(x, y, z) = 1
T(x, y, z) = 2
T(x, y, z) = 3

Sedan kan man börja förenkla uttrycket med hjälp av kvadratkomplettering.
Kommer du inte ihåg kvadratkomplettering kommer här en snabbguide:

Då får vi att T(x, y, z) = x^2+y^2+z^2+2x-2y = (x+1)^2-1+(y-1)^2-1+z^2.
Detta ger oss våra noll ställen (-1, 1, 0) = då blir funktionen 0, vår figur har sitt center i dessa punkter.

Sätter vi sedan T(x, y, z) = 1 exempelvis så får vi
T(x, y, z) = x^2+y^2+z^2+2x-2y = (x+1)^2-1+(y-1)^2-1+z^2 = 1 => (x+1)^2+(y-1)^2+z^2 = 3 (vi plussar med ett två gånger på båda sidor). Tar du sedan roten ur 3 så har du också radien.
Figuren den blir en sfär.

Här har ni hela min lösning:

Pusshej!
Feedback skickas gärna till ollegz@kth.se, då jag inte är den bästa på matte! Eller kommentera nedan!
Har du ett tal till nästa vecka, skicka gärna tips till mig!