Fluctuations on Global and Intermediate Scales for Orthogonal Polynomial Ensembles
Tid: To 2025-02-20 kl 10.00
Plats: F3 (Flodis), Lindstedtsvägen 26 & 28, Stockholm
Videolänk: https://kth-se.zoom.us/j/61010774094
Språk: Engelska
Respondent: Wenkui Liu , Sannolikhetsteori, matematisk fysik och statistik
Opponent: Professor Igor Krasovsky, Imperial College London
Handledare: Maurice Duits, Matematik (Avd.)
QC 2025-02-06
Abstract
Ortogonala polynomensembler (OPE:er) förekommer naturligt i många modeller inom statistisk mekanik, sannolikhetsteori, kombinatorik och slumpmatristeori. Hermitiska matrisers egenvärden är en viktig och välkänd källa till OPE:er. Slumpmatristeori inleddes 1928 i och med John Wisharts arbete, som syftade till att analysera stora datamängder. Under de senaste decennierna har den matematiska teorin gjort betydande framsteg och fortsätter även idag att vara ett livligt forskningsområde.
En annan motivation för att studera OPE:er är slumpmässig plattläggning. Modeller för slumpmässing plattläggning uppvisar fasövergångar, där olika regioner av en plattläggning uppvisar skilda beteenden (t.ex. frusna eller flytande regioner). Detta speglar fysikaliska system med fasövergångar, vilket gör slumpmässig plattläggning till en enkel men samtidigt kraftfull modell för att studera fenomen som kristallisation.
Denna avhandling är en sammanläggning av två originalartiklar om det asymptotiska beteendet hos OPE:er. Den första delen av avhandlingen består av en introduktion, en översikt över artiklarna och en utblick över de studerade ämnena. Den andra delen av avhandlingen består av de originalartiklarna.
Artikel A studerar plattläggning av en hexagon med $q$-Racah-vikter, vilka utgör en generalisering av såväl de likformiga som $q$-volymvikterna. Vi visar att höjdfunktionen för denna modell koncentreras nära en deterministisk gränsform och att de globala fluktuationerna beskrivs av det Gaussiska fria fältet (GFF).
Artikel B fokuserar på mesoskopiska skalor av OPE:er, vilket är en regim mellan de globala och lokala regimerna. Vi visar att en stor klass av OPE:er uppvisar samma fluktuationer vid kanterna i den mesoskopiska regimen. Vi vidareutvecklar metoden som introducerades av Breuer och Duits (2016) till att även omfatta varierande vikter. Metoden kräver inga antaganden om vikternas släthet, vilket gör att våra resultat gäller för både kontinuerliga och diskreta OPE:er.