Föreläsning 3 Komplexitetsanalys, sökning, rekursion

Komplexitetsanalys, sökning, rekursion

Komplexitetsanalys
Linjärsökning
Binärsökning
Testning
Rekursion

Komplexitetsanalys

Det är intressant att se tidsåtgången för en algoritm. Denna anges ofta som funktion av indatas storlek, som av tradition kallas n. Exempel: För sortering är n antalet tal som ska sorteras.
Hur växer tidsåtgångenT(n) för växanden?

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp n &nbsp &nbsp&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp log(n) &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp&nbsp &nbsp &nbsp nlog(n) &nbsp &nbsp &nbsp&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp n² &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 2ⁿ &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp

T(n)= n	n	log(n)	n*log(n)	n²	2ⁿ
10	10 s	1 s	10 s	100 s	17 min
100	100 s	2 s	3 min	2 tim	10²² år
10000	10000 s (ca 3 tim)	4 s	11 tim	3 år

Vi analyserar oftast värsta fallet (det är i regel enklare att räkna på) men man kan också räkna på medelfallet.

Istället för att ange den exakta tidsfunktionen T(n) nöjer vi oss med att ange ordoklassen O(n).

Definition
T(n) är O(F(n)) om det finns positiva konstanter c och n₀ sådana att 0<=T(n)<=cF(n) för n>=n₀
Vad innebär detta?

cF(n) anger en övre gräns förT(n) dån är stort.
Vi behöver bara ta bara med den term som växer snabbast.
Vi kan bortse från multiplikation med konstant.
Det spelar ingen roll vilken logaritm vi använder.

Exempel: T(n) = 10n² + 100n + ¹⁰logn + 1000 säger vi är O(n²).

För små indata är analys onödig - använd den enklaste algoritmen!
Inläsning från fil tar längre tid än åtkomst av redan inlästa värden.
Minnesåtgång kan också vara relevant.

Uppgift: Matrismultiplikation

Vad är komplexiteten för matrismultiplikation?

N är matrisens dimension (antal rader eller kolumner)

Den resulterande matrisen har NxN element.
Varje element beräknas genom en skalärmultiplikation av två vektorer med längd N.
Detta ger N multiplikationer samt N-1 additioner per element.

Svar: O(N³)

Lösenord

Duger ett lösenord med bara siffror?
Om det finns n tecken att välja bland och lösenordet är k tecken långt så finns det n^k olika kombinationer.
Här är n = 10 och antalet kombinationer blir alltså 10^k (en exponentiell funktion i k).

Duger ett lösenord som bara är 5 tecken långt?
Här blir antalet kombinationer n⁵ (en polynomisk funktion i n).

Sökning

Förutsättningar:

Vi söker efter något element i en lista med n element.
Det element vi söker efter karakteriseras av en söknyckel (eng key) men kan också ha andra data.

Frågor:

Vad ska hända om det sökta elementet inte finns med?
Kan det finnas flera element med samma nyckel? Vill man isåfall hitta alla?

Linjärsökning (Sequential search)

Algoritm:

Sök igenom elementen i tur och ordning.
Bryt när det sökta elementet påträffas eller när det uppenbaras att det sökta elementet inte finns med.

Linjärsökning ärO(n) (i värsta fallet måste vi titta på alla n elementen).

Här följer en funktion för linjärsökning i en lista.

def linjarsokning(listan, nyckel):
    for x in listan:
        if x == nyckel:
            return True
    return False

Binärsökning

Om listan är sorterad är den snabbaste sökningsalgoritmen binärsökning. Algoritm:

Beräkna intervallets mittpunkt.
Avgör om det sökta elementet finns i första eller andra halvan och fortsätt söka där.

Binärsökning är O(log n) i värsta fallet:
Vi söker bland n element och undrar hur många varv sökningen kan ta. Antal element att söka bland halveras i varje varv, så första varvet får vi n/2, andra varvet n/4, tredje varvet n/8. Vi är klara när det bara finns ett element kvar att titta på och då är n/2^x=1 där x är antal varv. Vi två-logaritmerar bägge led och får att x=²log(n).
Här följer en funktion för binärsökning:

def binsok(listan, nyckel):
"""Söker i "listan" efter "nyckel". Returnerar True om den hittas, False annars"""
    vanster = 0
    hoger = len(listan)-1
    found = False

    while vanster <= hoger and not found:
        mitten = (vanster + hoger)//2
        if listan[mitten] == nyckel:
	    found = True
        else:
            if nyckel < listan[mitten]:
                hoger = mitten-1
            else:
                vanster = mitten+1
    return found

Testning

Binärsökning är en knepig algoritm att implementera korrekt. Hur testar vi att koden ovan fungerar?

Här är några förslag! Testa:

normalfallet, t ex att söka efter 14 i listan [9, 14, 23, 54, 92, 104]
att söka efter ett tal som inte finns med, t ex 15
att söka i en tom lista []
att söka efter vänstraste elementet 9 ...
... och högraste elementet 104.
att söka efter ett element bortom vänstra gränsen, t ex 8 ...
... och bortom högra gränsen, t ex 105.

Interpolationssökning

är en variant av binärsökning, där man, istället för att välja mittpunkten som nästa sökpunkt, beräknar en bättre gissning.

    gissning = low+(item-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)

Interpolationssökning vara lämplig om:

Söknycklarna är jämnt fördelade över intervallet.
Varje jämförelse är extra tidskrävande.

Antalet jämförelser i medeltal blir i så fall O(loglog(n)), men i värsta fallet blir sökningen linjär, dvs O(n).

Rekursion

Rekursiv kommer från latinet och betyder återlöpande. Om man i definitionen av ett begrepp använder begreppet självt så är definitionen rekursiv. Rekursiva tankar kan också användas för problemlösning.

Rekursiv tanke: reducerar problemet till ett enklare problem med samma struktur
Basfall: det måste finnas ett fall som inte leder till rekursivt anrop

Rekursiv bild, rekursivt recept

Sifferexempel

Fråga: Hur många siffror har heltalet n?
Rekursivt svar: En siffra mer än om man stryker sista siffran i n, ...men tal mindre än tio är ensiffriga.

def antalsiffror(n)
      if n

Fråga: Vilken siffersumma har heltalet n? 
  
Rekursivt svar: Sista siffran plus siffersumman om man stryker
sista siffran i n, ...men noll har siffersumman noll.

    def siffersumma(n):
      if n == 0:  
        return 0               
      return (n%10) + siffersumma(n/10)

Triangeltalet S(N) är summan av de N första heltalen. S(4)=1+2+3+4 
 Fråga: Vad är värdet på S(N)?
 Rekursivt svar: S(N) = S(N-1) + N ... men S(1)=1. 
 Här följer en rekursiv funktion för beräkning av triangeltalen:

    def S(n):
        if n == 1: 
            return 1
        else:
            return S(n-1) + n

Hur fungerar det?

När man skriver egna rekursiva funktioner bör man lita på att det rekursiva anropet fungerar - man behöver inte analysera anropsgången för varje fall. Men för att förstå varför rekursion kan vara extra minneskrävande är det vara bra att känna till hur programspråken hanterar rekursiva anrop.

För varje anrop skapas en aktiveringspost som innehåller data för anropet, t ex parametrar, lokala variabler och anropspunkt.
Aktiveringsposten pushas på en stack.
När det rekursiva anropet är klart poppas aktiveringsposten från stacken, varefter föregående anrop ligger överst på stacken.

s(0)

s(1)

s(2)

s(3)

s(4)

huvudprogram

 
Rekursiv binärsökning
Binärsökning är lätt att göra rekursivt! Basfallet är att listan är tom, dvs har noll element. Rekursiv binärsökningsfunktion:
def binsok(listan, nyckel):
    if len(listan) == 0:
        return False
    else:
        mitten = len(listan)//2
        if listan[mitten] == nyckel:
            return True
        else:
            if nyckel < listan[mitten]:
                return binsok(listan[:mitten], nyckel)
            else:
                return binsok(listan[mitten+1:], nyckel)

Några saker att minnas

En rekursiv funktion kan alltid omformuleras utan rekursion, men om det finns flera rekursiva anrop i funktionen kan det vara besvärligt.
För många problem är en rekursiv funktion mycket enklare att formulera och ger kortare kod än utan rekursion. Ofta måste man gå via den rekursiva lösningen i tanken även om man gör en icke-rekursiv lösning.