Lektion 1

Reella tal

Naturliga tal, Positiva heltal

N={1,2,3,4,5,6,...}

Funktionen Table hjälper oss att göra listor av olika slag,

t.ex de naturliga talen från 1 till 10.

Table[n,{n,1,10}]

Sum

Samma struktur har funktionen Sum som beräknar summor

Sum[n,{n,1,10}]

...vilket också kan skrivas

(∑_(n=1)^10)n

Heltal

Z={...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,...}

Heltal från -10 till 10

Table[z,{z,-10,10}]

Rationella tal

Q={(m/n): m,n ∈Z, n≠0}

Table[m/n,{m,-3,3},{n,1,5}]

Lite listhantering

Det blev lite snårigt, så vi kan förenkla lite

?Flatten

% ger oss innehållet i senaste out-cellen

Flatten[%]

Sortering

Vi kan sortera listan

Sort[%]

Skärning

Och vi behöver bara ett av varje element

Intersection[%]

Allt på en gång

När vi nu testat de olika delarna kan vi kombinera funktionerna

Intersection[Flatten[Table[m/n,{m,-5,5},{n,1,7}]]]

Irrationella tal

Övriga reella tal, t.ex π och(Sqrt[3])

Funktionen N[ ] ger oss ett numeriskt värde

N[(Sqrt[3])]

N[Pi,100]

Olikheter och intervall

Studera olikheten

(x^2)-1<0

I Mathematica

Vi definierar variabeln olik, som innehåller olikheten

olik=(x^2)-1<0;

Sedan löser vi olikheten

Reduce [olik]

Vi kan förstås lösa den direkt också

Reduce [(x^2)-1<0]

Svar?

Svaret blir ett intervall (-1,1)

Olikheter ger ofta intervall som svar

Reduce [(1-(x^2))>2]

Reduce [(1+(x^2))>2]

Reduce [(1+(x^2))<2]

En lite bökigare olikhet

TraditionalForm [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2)))<0]

Hur ser det ut?

Plot [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2))),{x,-5,5}]

Vad händer mellan x=2 och x=3?

Bestäm värdet av uttrycket för ett värde i intervallet:

(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2)))/.{x->5/2}

Ändra plottintervallet (y-led)

Plot [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2))),{x,-5,5},PlotRange->{-30,20}]

Ändra plottintervallet (x-led)

Plot [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2))),{x,2,3}]

Vad händer för x<2?

Plot [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2))),{x,-5,2}]

Lösningen

Reduce [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2)))<0]

Exempel: Absolutbelopp

Absolutbeloppet |x| kan plottas med

Plot[Abs[x],{x,-5,5},AxesLabel->{x,Abs[x]}]

Ett annat absolutbelopp

Hur ser |x-4| ut?

Plot[Abs[x-4],{x,-1,7},AxesLabel->{x,Abs[x]}]

Exempel: Olikheter med absolutbelopp

Ex 1

TraditionalForm[Abs[3x+5]≤2x+6]

Hur ser det ut? Båda funktionerna

Plot[
{Abs[3x+5],2x+6},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},
AxesLabel->{x,None}
]

Hur ser det ut? VL minus HL

Plot[
Abs[3x+5]-(2x+6),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},
AxesLabel->{x,None}
]

Lösningen

Reduce[Abs[3x+5]≤2x+6]

Här är ett alternativ till att åskådliggöra lösningen (Överkurs...):

RegionPlot[
Abs[3x+5]≤2x+6,{x,-3,3},{y,-1,1},
AspectRatio->1/10,Frame->False,
Axes->{True,False},AxesLabel->{x,None}
]

Exempel 2

Reduce[Abs[3x+5]≤3x-2,x]

Hur ser det ut?

Plot[
{Abs[3x+5],3x-2},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},
AxesLabel->{x,None}]

Faktorisering (i Mathematica)

Vi definierar först ett uttryck:

uttryck=(x-2)((x^3) +4)(1-(Sin^2)[x])

Utveckla uttrycket

utvecklatUttryck=Expand[uttryck]

Förenkla

enkeltUttryck=Simplify[utvecklatUttryck]

Faktorisera

faktorUttryck=Factor[utvecklatUttryck]

Är de lika?

För att definiera en likhet använder vi dubbla likhetstecken

uttryck==enkeltUttryck

??

Simplify[%]

Variabler och tilldelning

Vi kan tilldela ett värde till en variabel (ETT likhetstecken)

variabel=34

Vi kan sedan använda variabeln i andra uttryck

2 variabel
variabel+10
(variabel^2)

Likheter och ekvationer

Vi kan definiera likheter  (TVÅ likhetstecken)

2 variabel==68

3 variabel==68

En ekvation är en likhet

4x+6(x^2)==3

Vi kan söka en lösning till ekvationen

Solve[4x+6(x^2)==3]

Numeriska värden

N[%]

En ekvation till

Vi definierar först ekvationen 
Sedan löser vi den.
Vi använder variabler som hjälpmedel

ekvation1=(Sqrt[x])==3;
lösning=Solve[ekvation1];

Lösningen beskrivs av en REGEL:

lösning

ReplaceAll

ReplaceAll (/.)
Ett par exempel

Vi rensar först variabeln n

Clear[n]

Vi testar ReplaceAll

n/.{n->3}

Vad har n för värde nu?

n

???

Vi gör så här i stället

nVärde=n/.{n->3};
nVärde
n

n erhåller ett värde medan vi utför kommandot ReplaceAll, men behåller inte värdet (om vi inte gör en tilldelning)
Däremot har vi tilldelat värdet till variabeln nVärde

Ett exempel till

n+3(n^2)/.{n->3}
n

Vår ekvationslösning

Vi använder nu ReplaceAll (/.) för vår ekvationslösning
Vi kombinerar det med tilldelning till variabeln lösvärde

lösvärde=x/.lösning;
lösvärde

Skriver vi så här får vi siffervärdet:

lösvärde[[1]]

En bekvämare syntax kan vara denna

{lösvärde}=x/.lösning;
lösvärde

En ekvation med två lösningar

Alternativ 1

löslista=x/.Solve[3(x^2)-7x+2==0]

Värdena finns nu i listan:

löslista[[1]]

löslista[[2]]

Alternativ 2

{x1,x2}=x/.Solve[3(x^2)-3x-12==0]

Värdena finns nu i variablerna x1 oxh x2.

x1

x2

Vi kan använda värdena i uttryck

En summa

2x1+4x2

En  produkt

x1 x2

Förenkla

%//Simplify

Potens

(x2^x1)

Numeriskt värde

%//N

Funktion eller ekvation?

Studera uttrycket
	y=k x+m

Är det 
	en funktion y(x)=k x+m
eller
	en ekvation y=k x+m ?

Vilket det är förutsätts vi kunna tolka av sammanhanget, men i Mathematica  måste vi vara tydliga med vad vi menar!

y1=k x+m

eller

y2==k x+m

Vi kan också definiera en funktion i Mathematica...

y[x_]=3x+7

som vi kan använda precis som Mathematicas inbyggda funktioner

y[3]

Eller så här

yfunk[x_,k_,m_]=k x+m

som vi kan använda så här

yfunk[x,3,7]

yfunk[5,3,7]

... och ekvationen kan vi lösa

Solve[y==k x+m]

Om vi vil lösa ut x

Solve[y==k x+m,x]

Plotta funktioner och ekvationer

Plotta en funktion

Plot[3x+4,{x,-5,5}]

Styra plottens utseende

Intervall på vertikala axeln

Plot[3x+4,{x,-5,5},PlotRange->{-5,10}]

Plottens dimensioner

Samma skala på axlarna

Plot[3x+4,{x,-5,5},AspectRatio->Automatic]

Text på axlarna

Plot[3x+4,{x,-5,5},PlotRange->{-5,10},AxesLabel->{x,"y=3x+4"}]

Plotta en ekvation

ContourPlot[3x+4==y,{x,-5,5},{y,-5,5}]

Snygga till plotten

Ta bort ram, lägg till axlar

ContourPlot[3x+4==y,{x,-5,5},{y,-5,5},Frame->False, Axes->True,AxesLabel->{x,"y=3x+4"}]

Andragradsfunktion - andragradskurva

Vi definierar en godtycklig andragradsfunktion som en funktion i Mathematica

grad2funk[x_,a_,b_,c_]=a (x^2)+b x+c

En andragrads-funktion

grad2funk[x,2,5,-7]

En andragrads-ekvation

Solve[grad2funk[x,a,b,c]==0,x]

pq-formeln

Solve[grad2funk[x,1,p,q]==0,x]

En andragradskurva

Plot[grad2funk[x,2,5,-7],{x,-5,5},AxesLabel->{x,grad2funk[x,2,5,-7]}]

En parabel

Vi definierar en parabel med vertikal symmetriaxel

par[c1_,c2_,c3_,x_]=c1(((x-c2))^2)+c3

Plot[par[2,5,-1,x],{x,-5,15}]

En manipulation

Med funktionen Manipulate i Mathematica kan vi studera funktionen:
	y(x)=(Subscript[k, 1]) (((x-(Subscript[k, 2])))^2)+(Subscript[k, 3])

Manipulate[Plot[par[k1,k2,k3,x],{x,-15,15},PlotRange->{-15,15},AxesLabel->{x,par[k1,k2,k3,x]},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Red,Thick}],{{k1,1},-5,5},{{k2,0},-10,10},{{k3,0},-10,10}]

Manipulate[Plot[par[k1,k2,k3,x],{x,-15,15},PlotRange->{-15,15},AxesLabel->{x,{par[k1,k2,k3,x],Expand[par[k1,k2,k3,x]]}},AspectRatio->1/2,PlotStyle->{Red,Thick}],{{k1,1},-5,5,1},{{k2,0},-10,10,1},{{k3,0},-10,10,1}]