Trianglar och avstånd

Ett enkelt exempel,en rätvinklig triangel

triangel=Graphics[{Yellow,EdgeForm[Thick],Polygon[{{0,0},{0,5},{9,0}}]}];
Show[triangel,Axes->True]

Hur lång är hypotenusan?

Antag att hypotenusan har längden x.
Vi ser i figuren att katetrarna har längden 5 resp 9.

Pythagoras sats ger då:
	(5^2)+(9^2)=(x^2)
och vi får 
	(x^2)=25+81=106
vilket ger
	x=±(Sqrt[106])
där vi förkastar den negativa roten eftersom det handlar om en sträcka.
Alltså är x=(Sqrt[106])

Svar:

Hypotenusan har längden (Sqrt[106]) l.e.

I Mathematica, några alternativ

Solve[(5^2)+(9^2)==(x^2)]

Solve[{(5^2)+(9^2)==(x^2),x>0}]

Reduce[{(5^2)+(9^2)==(x^2),x>0}]

{hypotenusan}=x/.Solve[{(5^2)+(9^2)==(x^2),x>0}];
hypotenusan

En annan rätvinklig triangel

Figur

triangel2=Graphics[{Yellow,EdgeForm[Thick],Polygon[{{0,0},{-4,4},{6,6}}]},GridLines->Automatic];
Show[triangel2,Axes->True]

Diskussion

vi kan alltid börja med att ge beteckningar enligt figuren

Antag att sidorna betecknas med A, B, C enligt figuren, där A, B och C är positiva storheter.
Pythagoras sats gäller då för triangeln
	(A^2)=(B^2)+(C^2), 
men vi vet  inte hur lång någon av sidorna är.

Bestäm sidorna

Tittar vi närmare på figuren ser vi att vi kan använda Pythagoras sats för de trianglar som A och B bildar med x-axeln och de vertikala linjerna.
Vi får då:
	(B^2)=36+36=72
och
	(C^2)=16+16=32
och vidare
	(A^2)=(B^2)+(C^2)=72+32=104
vilket ger
	A=2(Sqrt[26])

En annan väg att räkna ut A

Hörnen

Triangeln kan definieras av sina hörn lika väl som av sina sidor.
Hörnen har koordinaterna (0,0), (-4,4), (6,6)

punkter=ListPlot[{{0,0},{-4,4},{6,6}},PlotStyle->PointSize[Large],GridLines->Automatic]

En pil

Vi kan också representera sidan som en pil från ett hörn till ett annat. Det är vad vi kallar en vektor, och det kommer nästa matte-kurs att handla om (bl.a)

pil=Graphics[{Red,Thick, Arrow[{{-4,4},{6,6}}]}];
Show[punkter,pil]

Hur lång är pilen?

Pilen går från (-4,4) till (6,6). Längden av pilen kan vi räkna ut med Pythagoras’ sats för nedanstående triangel

nyTriang=Graphics[{Opacity[0],EdgeForm[Thin],Polygon[{{-4,4},{6,6},{6,4}}]}];
Show[punkter,pil,nyTriang]

Längden l  ges av
	(l^2)= (10^2)+(2^2)=100+4=104 => t=2(Sqrt[26])
vilket stämmer med A som vi räknade ut förut.

En godtycklig pil

texten2=Graphics[Text["((Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2]))",{8,5}]];
texten1=Graphics[Text["((Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1]))",{-4,-1}]];
nyPil=Graphics[{Red,Thick, Arrow[{{-4,-2},{8,6}}]}];
punkter=ListPlot[{{-4,-2},{8,6}},PlotStyle->PointSize[Large]];
Show[{nyPil, punkter,texten1,texten2},Axes->True,Ticks->None]

Bestäm längden av pilen

Skillnaden i x-led är 
	△x= (Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1])
och i y-led
	△y=(Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1])

Vi får alltså tv kateter med längden △x resp. △y

Pythagoras sats ger då pilens längd:

	(Sqrt[((((Subscript[x, 1])))^2)+((((Subscript[y, 1])))^(2 ))])=(Sqrt[(((((Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]))))^2)+(((((Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1]))))^(2 ))])

Bestäm avståndet från origo

Bestäm avståndet från origo till punkten (7,16)

pil=Graphics[{Red,Thick, Arrow[{{0,0},{7,16}}]}];
Show[pil,Axes->True,PlotRange->{{0,17},{0,17}}]

Med “avståndsformeln” eller Pythagoras’ sats.

längd=(Sqrt[(7^2)+(16^2)])

Som “pilens längd”

normen=Norm[{7,16}]

En test

längd==normen

En vektor

Den röda pilen i figuren kan vi kalla för en vektor v =(7,16)

En godtycklig vektor (x,y)

Manipulate[pil=Graphics[{Red,Thick, Arrow[{{0,0},{xx,yy}}]}];
Show[pil,Axes->True,PlotRange->{{-8,8},{-8,8}},PlotLabel->{xx,yy}],{{xx,5},-8,8,1},{{yy,3},-8,8,1}]

Hur lång är den?

Avståndet från origo

En punkt (x,y) befinner sig på avståndet r från origo.
Då gäller att 
	r =(Sqrt[(x^2)+(y^2)])  
enligt  avståndsformeln, 
och även att
	(r^2)=(x^2)+(y^2) 
vilket är en ekvation som beskriver orten för alla punkter som befinner sig på avståndet r från origo.

...och vad är det?

ContourPlot[(x^2)+(y^2)==16,{x,-5,5},{y,-5,5},Frame->False,Axes->True,AxesLabel ->{x,y},PlotLabel->(x^2)+(y^2)==16]

..och om vi ersätter x med (x-3)?

ContourPlot[(((x-3))^2)+(y^2)==16,{x,-5,8},{y,-5,5},Frame->False,Axes->True,AxesLabel ->{x,y},PlotLabel->(((x-3))^2)+(y^2)==16,AspectRatio->Automatic]

Nu ligger alla punkter på samma avstånd från (3,0)

En manipulation igen.

Manipulate[
ContourPlot[(((x-p))^2)+(((y-q))^2)==16,{x,-10,10},{y,-10,10},Frame->False,Axes->True,AxesLabel ->{x,y},PlotLabel->(((x-p))^2)+(((y-q))^2)==16,AspectRatio->Automatic],
{{p,0},-5,5,1},{{q,0},-5,5,1}]

3010

Givna fakta

Petter hyr en bil till en fast kostnad på 200kr.
Dessutom betalar han 20 öre/km
Bilen drar 0.8 liter/mil
Bensinen kostar9.40 kr/mil

En modell

Vi definierar först givna värden och tänker på att använda samma enhet genomgående (kr, mil och liter)

fastK=200;
milmKost=2;
litMil=.8;
milBensKost=9.4;

Uppgift a)

Hur mycket kostar det att köra x mil?
Dvs:
	fast kostnad
	+milkostnad
	+bensinkostnad

Det ger följande modell:

kost[x_]=fastK+x milmKost+x milBensKost litMil;

Hur mycket kostar då 65 mil?

kost[65]

Vi kan plotta också

Plot[kost[x], {x,0,70},AxesLabel->{mil,kronor}]

Vi ser tydligt att det är an linjär funktion

Uppgift b)

Hur långt kan han köra för 1500 kr?

Den frågan ger oss en ekvation kost[x]=1500

kost[x]==1500

Vi löser ekvationen

{sträcka}=x/.Solve[kost[x]==1500,x];
sträcka

Lösningen på b) är enkel att åskådliggöra

Plot[{kost[x],1500} ,{x,0,200},AxesLabel->{mil,kronor}]

Exempel 61

Snickra lusthus på beställning

Givna värden

startKostnad=-27000
intäktPerLusthus=4000

De startar med minus i kassan, men så småningom har de tjänat in startkostnaden.

Modell

Efter att ha sålt n hus har de i kassan:

kass=startKostnad+n intäktPerLusthus

När har de tjänat in startbeloppet?

Reduce[kass>0]

N[%]

Men de säljer bara hela hus! (tabeller)

Vi kan göra en tabell som visar hur mycket de har i kassan efter varje sålt hus

Table[kass,{n,1,10}]

Lite enklare att läsa kan det bli om vi lägger in antalet sålda hus också

Table[{n,kass},{n,1,10}]

Kanske som en tabell med kolumner

Table[{n,kass},{n,1,10}]//TableForm

Eller till och med så här

Grid[Table[{n,kass},{n,1,10}],Frame->All]

Kanske ett diagram?

ListPlot[Table[{n,kass},{n,1,10}]]

BarChart[Table[{n,kass},{n,1,10}]]

När har de tjänat 90000?

Reduce[kass>90000]
N[%]

Polynom med gradtal 3

Vi definiererar ett godtyckligt tredjegrads-polynom

poly3[x_,a_,b_,c_,d_]=a (x^3)+b (x^2)+c x+d

Och testar att plotta

pol1=poly3[x,1,3,5,7];
Plot[pol1,{x,-5,5},AxesLabel->{"x",poly3[x,1,3,5,7]}]

Vi byter tecken på tredjegradstermen

pol2=poly3[x,-1,3,5,7];
Plot[pol2,{x,-5,5},AxesLabel->{"x",poly3[x,-1,3,5,7]}]

Nollställen?

Solve[ (x^3)+b (x^2)+c x+d==0,x];
Simplify[%]

Och en manipulation

Manipulate[

Plot[a (x^3)+b (x^2)+c x+d,{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},PlotLabel->a (x^3)+b (x^2)+c x+d],
{{a,1},-5,5},{{b,1},-5,5},{{c,-2},-5,5},{{d,0},-5,5}
]

Derivatan

Med funktionen D [f,x] kan vi derivera

D[(x^2)+5x,x]

Vi tillämpar det på ett polynom

Derivatan av -3+5 x+5 (x^2)-(x^3) ?

I Mathematica

Ett polynom

polNy=poly3[x,-1,5,5,-3]

och dess derivata...

derPolNy=D[polNy,x]

...och en figur.

Plot[{polNy,derPolNy},{x,-15,15},AxesLabel->{"x",poly3[x,1,3,5,7]}]

??

Inte så tydligt, bättre kan vi!

Plot[{polNy,derPolNy},{x,-3,5},AxesLabel->{"x",poly3[x,1,3,5,7]}]

När är derivatan positiv?

Reduce[derPolNy>0]

N[%]

Stämmer det med figuren?

Funktion och derivata

Plot[{polNy,derPolNy},{x,3.,4.5},AxesLabel->{"x",poly3[x,1,3,5,7]}]

Derivata

Plot[{derPolNy},{x,3.7,3.8},AxesLabel->{"x",poly3[x,1,3,5,7]}]

Rationella ekvationer

3046

((x+3)/(x-2))==((2 x+3)/(3 x-2))

För hand

Vi ser direkt att

x ≠ 2 och 3x ≠ 2⇔ x≠ (2/3)

Vi kan då skriva

((x+3)/(x-2))==((2 x+3)/(3 x-2)) ⇔ (x+3)(3x-2)=(2x+3)(x-2)

⇔ -6+7 x+3 (x^2)=-6-x+2 (x^2)
	⇔ 7 x+3 (x^2)=-x+2 (x^2)
	⇔ 8 x+ (x^2)=0
	⇔ x(8+ x)=0
	⇔ x=0; x=-8

Figurer

Båda funktionerna

VL3046b=((x+3)/(x-2));HL3046b=((2x+3)/(3x-2));
Plot[{VL3046b,HL3046b},{x,-10,10},PlotStyle->{Orange,Green}]

VL-HL

Plot[{VL3046b-HL3046b},{x,-10,1}]

I Mathematica

rotEkv3046b=((x+3)/(x-2))==((2x+3)/(3x-2));
Solve[rotEkv3046b]

Rotekvation

Hur ser det ut?

Plot[{(Sqrt[4 x+5]),3 x-7},{x,-3,5}]

Manuell lösning

1. Kvadrera båda led (men Mathematica får räkna!)

ekv=4x+5==(((3x-7))^(2 ))//Expand

2. Lös ekvationen

ekvlös=Solve[ekv]
N[%]

3. Pröva rötterna

(Sqrt[4 x+5])==3 x-7/.ekvlös[[1]]

(Sqrt[4 x+5])==3 x-7/.ekvlös[[2]]

I mathematica

Solve[{(Sqrt[4 x+5])==3 x-7}]

Att göra en enkel manipulation

Kurvor

Vi plottar två kurvor för att se var de skär varandra

Plot[{1/(((x-3))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Vi kan ändra ett värde för att studera hur skärningspunkten förflyttas

Plot[{1/(((x-4))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Vi kan införa en variabel för  att slippa ändra i formeln

a=3;
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Den variabeln kan vi utnyttja i Manipulate-funktionen

Manipulate

Manipulate[
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}],
{a,-5,5}]

För att få en lugnare figur låser vi plott-intervallet i vertikal led.

Manipulate[
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],
{a,-5,5}]

En tabell med plottar

Table[Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],{a,1,5}]

Inramade figurer

Grid[{Table[Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],{a,1,5}]},Frame->All]