IX1300 HT2011
 Lektion 3

Att göra en enkel manipulation

Kurvor

Vi plottar två kurvor för att se var de skär varandra

Plot[{1/(((x-3))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Vi kan ändra ett värde för att studera hur skärningspunkten förflyttas

Plot[{1/(((x-4))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Vi kan införa en variabel för  att slippa ändra i formeln

a=3;
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}]

Den variabeln kan vi utnyttja i Manipulate-funktionen

Manipulate

Manipulate[
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5}],
{a,-5,5}]

?

För att få en lugnare figur låser vi plott-intervallet i vertikal led.

Manipulate[
Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],
{a,-5,5}]

En tabell med plottar

Table[Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],{a,1,5}]

Inramade figurer

Grid[{Table[Plot[{1/(((x-a))^2),(Sqrt[x])},{x,0,5},PlotRange->{0,5}],{a,1,5}]},Frame->All]

Skapa en modell av observationer

Observerade värden

värden={{1,3},{2,4},{3,7}};

En figur

punkter=ListPlot[värden,PlotStyle->PointSize[Large],PlotRange->{{0,4},{0,8}}]

En linjär modell

modell=Fit[värden,{1,x},x]

En figur

figur=Plot[modell,{x,0,4}]

Modell och observationer i samma figur

linfig=Show[figur, punkter]

En kvadratisk modell

modellx2=Fit[värden,{1,x,(x^2)},x]

Figur

figurx2=Plot[modellx2,{x,0,4}];
Show[figurx2,punkter,PlotRange->{{0,4},{0,8}},AxesOrigin->{0,0}]

Båda modellerna

Show[figurx2,linfig,punkter,PlotRange->{{0,4},{0,8}},AxesOrigin->{0,0}]

Funktioner?

En cirkel

Kan vi beskriva en cirkel som en funktion?

Show[
ContourPlot[(x^2)+(y^2)==8,{x,-5,5},{y,-5,5}],
Frame->False, Axes->True,AxesLabel->{x,y}
]

En vertikal linje får skära grafen för en funktion endast en gång

Show[
ContourPlot[{(x^2)+(y^2)==8,x==2},{x,-5,5},{y,-5,5}],
Frame->False, Axes->True,AxesLabel->{x,y}
]

Men så här då?

Solve[(x^2)+(y^2)==8,y]

Vi får två funktioner

yOvan=(Sqrt[8-(x^2)]);
yUnder=-(Sqrt[8-(x^2)]);

Figurer

ovan=Plot[yOvan,{x,-5,5},AxesLabel->{x,y},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic]

under=Plot[yUnder,{x,-5,5},AxesLabel->{x,y},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic,PlotStyle->Red]

Show[ovan,under]

En parabel

y=(x^2)

Plot[x x,{x,-5,5},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic]

En annan parabel?

ContourPlot[{x==(y^2)},{x,-5,5},{y,-5,5},AspectRatio->Automatic,Frame->False,Axes->True,AxesLabel->{x,y}]

Vad visar figuren?
En funktion?

Figuren visar parabeln
	x(y)=(y^2)

x som funktion av y.

Invers

Inverterat tal

Invertera talet 6.

talet=6;
invert=1/talet

Invertera det inverterade talet

(1/invert)

Multiplicera talet med inversen (dvs. 6·(1/6))

talet invert

Studera funktionen

Vi skriver det inverterade talet som en funktion f(x)

lin1={Graphics[Line[{{1,1},{0,1}}]],Graphics[{Red,Line[{{2,1/2},{0,1/2}}]}],Graphics[{Green,Line[{{3,1/3},{0,1/3}}]}],Graphics[Line[{{1,1},{1,0}}]] ,Graphics[{Red,Line[{{2,1/2},{2,0}}]}],Graphics[{Green,Line[{{3,1/3},{3,0}}]}]};

kurv=Plot[1/x,{x,0,5},PlotRange->{0,5},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotLabel->"f(x) =(1/x), x>0"];
Show[kurv,lin1]

NB:

Observera:
	Varje värde på x motsvarar EXAKT ett värde på y.
och
	Varje värde på y motsvarar EXAKT ett värde på x.
	
Det finns en entydig relation mellan x och y

Även negativa x-värden

Vi plottar funktionen (1/x)för alla värden på x
Funktionen är definierad för x≠ 0

Plot[1/x,{x,-5,5},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotLabel->"f(x) =(1/x)"]

Invers funktion

Funktionen y(x)=(x^3), x>0

Plot[{(x^3)},{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotLabel-> "Funktionen y = (x^3), x>0"]

Invers?

Lös ekvationen y=(x^3).

Reduce[y==(x^3),x]

Figur

Plot[{(x^3),(x^(1/3)),x},{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->Automatic]

Vi kan se att de två funktionerna y= (x^3) och (x^(1/3))=(x^(1/3))  funktionerna speglas i linjen y=x

Funktionen 1/x

Vi plottar funktionen (1/x) tillsammans med linjen y=x

Plot[{1/x,x},{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->Automatic]

Av figuren kan vi ana att 1/x är sin egen invers.

Figur

Funktionen (1/x) för både positiva och negativa värden på x och y.

Plot[{1/x},{x,-5,5},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic]

Observera att 
	(1/X) inte är definierad för x=0
och att
	(1/y) inte är definierad för y=0

Logaritmfunktionen och exponentialfunktionen.

Plot[{Log[x],x,(E^x)},{x,-5,5},PlotRange->{-5,5},AspectRatio->Automatic]

(1/(1+(x^2)))

Plot[{(1/(1+(x^2))),x,(Sqrt[((1-x)/x)])},{x,0,3},AspectRatio->Automatic]