IX1300 Introduktion i matematik		Lektion 22 november 2011	
Jan-Olof Åkerlund			           ICT-skolan, KTH

Potens- och exponentialfunktioner

Potensfunktioner

Funktionen y=(x^a)

Manipulate[Plot[(x^a),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(x^a)}],{a,0,5,.1}]

Varför blir det ingen kurva för x<0 ?

N[{(((-2))^(-2)),(((-2))^(-2.2))}]

Funktionen y=(x^a)  om a är positiva heltal

Manipulate[Plot[(x^a),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(x^a)}],{a,0,10,1}]

Exponentialfunktioner

Funktionen y=(a^x)

Om a>0 och x är ett reelt tal är den reella funktionen  y=(a^x) definierad

a < 1

Manipulate[Plot[(a^x),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(a^x)}],{a,0.01,1}]

a> 1

Manipulate[Plot[(n^x),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(n^x)}],{n,1,10}]

(a^x) och (((1/a))^x)

Manipulate[Plot[{(n^x),(((1/n))^x)},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,{(n^x),(((1/n))^x)}}],{n,2,10,1}]

Ränta på ränta

1000 kr, årlig ränta 5 %

Kapital efter ett år:
	1000 (1+0.05) = 1000· 1.05

Kapital efter två  år:
	1000 (1+0.05) (1+0.05)= 1000· (1.05^2)
	
Kapital efter k  år:
	1000 · (1.05^n)

I Mathematica

Tabell (Kapitalisering varje år)

kapital=Table[1000  (1.05^k),{k,0,10}]

Plott

plot1=ListPlot[kapital,Filling->Axis,PlotRange->{0,2000}]

plot2=ListPlot[kapital,Filling->Axis,PlotRange->{0,2000},FillingStyle->Thick]

Varför ritar vi inte en kurva?

kurv1=Plot[1000  (1.05^k),{k,0,10}];
Show[plot2,kurv1]

Vi kan åskådliggöra i ett stapeldiagram

barkapital=BarChart[kapital]

Kapitalisering varje månad (12 gånger per år)

En tolftedel av räntan läggs till varje månad

1000(((1+(0.05/12)))^12)

Kapital efter k år

kapitalmånad=Table[1000(((1+(0.05/12)))^(12 k)),{k,0,10}]

Jämför modellerna

Grid[Transpose[{kapital,kapitalmånad}],Frame->All]

Show[plot2,plot3]

Kapitalisering n gånger per år

Tabeller för olika värden på n

1000(((1+(0.05/n)))^n)

Table[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,12}]

Table[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,101,10}]

Låt oss plotta funktionen

Plot[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,100}]

Mindre intervall i y-led

Plot[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,100},PlotRange->{1.05,1.06}]

Ett gränsvärde

Limit[(((1+(0.05/n)))^n),n->Infinity]

Sätt (1/t)=(0.05/n) och studera vad som händer

Vi får då

(((1+(0.05/n)))^n)=((((((1+(1/t)))^t)))^0.05)

Låt oss studera (((1+(1/t)))^t) då t växer

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,10,100,10}]//N

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,100,1000,100}]//N

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,1000,10000,1000}]//N

Limit[(((1+(1/t)))^t),t->∞]

N[E,20]

Två räntemodeller

Kapitalisering årligen och kontinuerlig kapitalisering

Plot[{(((1.05))^n),(E^((0.05)n)) },{n,1,100}]

Vad blir skillnaden?

Plot[{(E^((0.05)n))-(((1.05))^n) },{n,1,10}]

Exponentialfunktionen (e^(a x))

Manipulate[Plot[(E^(a x)),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x, ((e )^(a x))}],{{a,1},-5,5,0.1}]

(e^(a x)), derivata och primitiv funktion

Derivata

D[(E^x),x]

D[(E^x),x]==(E^x)

Primitiv funktion

Integrate[(E^x),x]

Arean under kurvan (e^x)

exparea=Integrate[(E^x),{x,0,x}]
Plot[{(E^x),exparea},{x,0,4}]

Arean för  0<x<4

Integrate[(E^x),{x,0,4}]

Arean för  2<x<5

Integrate[(E^x),{x,2,5}]
Expand[%]

Arean mellan två exponentialkurvor

Plot[{(E^x),(E^(-x))},{x,0,4}]

Integrate[(E^x)-(E^(-x)),{x,0,x}]

Arean för  1<x<3

Integrate[(E^x)-(E^(-x)),{x,1,3}]

N[%]