IX1303 Linjär algebra

Linjära ekvationssystem

Inledning

En linjär kombination

{2,4,5}.{x,y,z}

En linjär ekvation

2 x+4 y+5 z=4

Två linjära ekvationer bildar tillsammans ett ekvationssystem

2 x+4 y+5 z=4
5 x- y-3 z=6

Ekvationssystemet har en lösning

Lösning=Solve[{2 x+4 y+5 z==4,5 x- y-3 z==6}]

{lösningsvektor}={x,y,z}/.Lösning

lösningsvektor

Lösningen

x=(1/11)(14,4,0)+(t/22) (7, -31,22)

Idag

Metoder att lösa ekvationssystem
Olika lösningsmängder

Ett tvåtusenårigt exempel

"Utbytet av en säck dåligt ris, två säckar medelgott ris och tre säckar bra ris är 39 dou.

Utbytet av en säck dåligt ris, tre säckar medelgott ris och två säckar bra ris är 35 dou.

Utbytet av tre säckar dåligt ris, två säckar medelgott ris och en säck bra ris är 26 dou.

Vad är utbytet av en säck av varje sort?"

Ur "Nine chapters on the mathematical art"

Ett tvåtusenårigt exempel som ekvationssystem

x +2y + 3z =39    (1)
   x +3y + 2z =34    (2)
3x +2y +    z =34    (3)

Ett linjärt ekvationssystem med tre obekanta

Vill vi transformera till...

x                                           =....
            y                   =. ...
                        z        =. ...

Dvs, vi vill eliminera termer ovan och under diagonalen

Lösning steg 1

x +2y + 3z =39    (1)
   x +3y + 2z =34    (2)     (2)-(1)
3x +2y +    z =34    (3)     (3) -3(1)

Steg 2

x +2y + 3z =39    (1)
               y       -z =-5    (2) 
        -4y   -8z =-91 (3)     (3) + 4 (2)

Steg 3 & 4

x +2y + 3z =39    (1)
               y       -z =-5    (2) 
                     -12z =-111 (3)     Multiplicera med -(1/12)  => z=9.25

Steg 5

x +2y + 3z =39    (1)      (1) - 3 (3)
               y       -z =-5    (2)      (2) + (3)
                              z =9.25 (3)

Steg 6

x +2y             =11.25    (1)      (1) - 2 (2)
               y                =4.25      (2)      
                              z =9.25 (3)

Klart

x                           =2.75    (1)      
               y                =4.25      (2)      
                              z =9.25 (3)

Svar

En säck dåligt ris ger 2.75 dou 
En säck medelgott ris ger 4.25 dou 
En säck bra ris ger 9.25 dou

svar={2.75,4.25,9.25};
svarexakt={11,17,37}/4;

{1,2,3}.svar
{1,2,3}.svarexakt

Lösning i Mathematica

Ekv1={1,2,3}.{x,y,z}==39;
Ekv2={1,3,2}.{x,y,z}==34;
Ekv3={3,2,1}.{x,y,z}==26;
{{bra,medel,dåligt}}={x,y,z}/.Solve[{Ekv1,Ekv2,Ekv3}]

En linjär kombination

1 bra+2 medel+3 dåligt

Ett tvåtusenårigt exempel som Totalmatris

totalmatris={{1,2,3,39},{1,3,2,34},{3,2,1,26}};
MatrixForm[totalmatris]

Första raden i totalmatrisen

totalmatris[[1]]

Andra radens fjärde element:

totalmatris[[2,4]]

Radreduceringar

totalmatris[[2]]=totalmatris[[2]]-totalmatris[[1]];
totalmatris[[3]]=totalmatris[[3]]-3totalmatris[[1]];
MatrixForm[totalmatris]

totalmatris[[3]]=totalmatris[[3]]+4totalmatris[[2]];
MatrixForm[totalmatris]

totalmatris[[3]]=-totalmatris[[3]]/12;
MatrixForm[totalmatris]

totalmatris[[2]]=totalmatris[[2]]+totalmatris[[3]];
totalmatris[[1]]=totalmatris[[1]]-3totalmatris[[3]];
MatrixForm[totalmatris]

totalmatris[[1]]=totalmatris[[1]]-2totalmatris[[2]];
MatrixForm[totalmatris]

lösningen={totalmatris[[1,4]],totalmatris[[2,4]],totalmatris[[3,4]]}

RowReduce

totalmatrisIgen={{1,2,3,39},{1,3,2,34},{3,2,1,26}};
RowReduce[totalmatrisIgen]//MatrixForm

Ett tvåtusenårigt exempel somMatris-ekvation

Matrisen

rismatris={{1,2,3},{1,3,2},{3,2,1}};
%//MatrixForm

Determinant

Det[rismatris]

Vad innebär det?

Ekvationen

Först vänsterledet

rismatris.{{x},{y},{z}}
%//MatrixForm

Sedan hela systemet i snygg utskrift (Som vi inte kan använda för att lösa systemet i Mathematica).

MatrixForm[rismatris].MatrixForm[{{x},{y},{z}}]==MatrixForm[{{39},{34},{36}}]

Och här i en form som går att lösa

systemet=rismatris.{{x},{y},{z}}=={{39},{34},{36}}

Lösning 1.

Solve[systemet]
{lösningsvektor}={x,y,z}/.%

lösningsvektor[[3]]

Lösning 2.

Invers

Inversmatris

risinvers=Inverse[rismatris];
%//MatrixForm

M (M^(-1))=M (M^(-1))= ?

När gäller det?

rismatris.risinvers;
%//MatrixForm

risinvers.rismatris==rismatris.risinvers

x=(M^(-1)) b

HL={{39},{34},{36}};
invlösning=risinvers.HL

invvektor==lösningsvektor

Flatten[ ] och Partition[ ]

Praktiskt om man vill formatera om listor

?Flatten

invvektor=invlösning//Flatten

?Partition

Partition[invvektor,1]

Lösningsmängder

Tre enkla ekvationssystem

Det första

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
-(Subscript[x, 1])+3(Subscript[x, 2])=   3

Addera rad 1 och 2 så får vi

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
               (Subscript[x, 2])=   2   => (Subscript[x, 1])=3

Dvs. vi får en UNIK lösning

x=(3, 2)

Figur(er)

ContourPlot[{x-2y==-1,-x+3y==3},{x,-1,5},{y,-1,5}]

ContourPlot[{x-2y==-1,-x+3y==3},{x,-1,5},{y,-1,5},Axes->True]

ContourPlot[{x-2y==-1,-x+3y==3},{x,-1,5},{y,-1,5},Axes->True,Frame->False]

Det andra

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
-(Subscript[x, 1])+2(Subscript[x, 2])=   3

Addera rad 1 och 2 så får vi

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
               0=   2     OSANT!

Dvs. vi får en INGEN lösning, systemet saknar lösning

Figur

ContourPlot[{x-2y==-1,-x+2y==3},{x,-1,5},{y,-1,5},Axes->True,Frame->False]

Det tredje

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
-(Subscript[x, 1])+2(Subscript[x, 2])=   1

Addera rad 1 och 2 så får vi

(Subscript[x, 1])-2(Subscript[x, 2])=-1
               0=   0     SANT för alla värden på (Subscript[x, 2])

Dvs. vi får  MÅNGA lösningar, varje värde på (Subscript[x, 2]) ger ett värde på (Subscript[x, 1])

Dvs. vi får en  PARAMETER-lösning:

x=((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]))=(2(Subscript[x, 2]) -1, (Subscript[x, 2]))=(-1, 0)+(2(Subscript[x, 2]) , (Subscript[x, 2]))  
=(-1, 0)+(Subscript[x, 2])(2 , 1)

Alltså:

x=(-1, 0)+t(2 , 1)

Figur

ContourPlot[{x-2y==-1,-x+2y==1},{x,-1,5},{y,-1,5},Axes->True,Frame->False]

Tre möjliga fall

Vi kan få ett konsistent system, dvs. ett system som har lösningar
	
	1. En unik lösning
	
	2. Många lösningar (alltid en parameterlösning)
	
Vi kan få ett inkonsistent system, dvs. ett system som saknar lösningar, dvs
	
	3. Ingen lösning

Exempel

Vi definierar en totalmatris

rad1={3,7,-4,4,-3};
rad2={-4,1,2,1,4};
rad3={5,8,3,7,-3};
rad4={-7,4,3,-3,8};

MatrixForm[TotalMatris={rad1,rad2,rad3,rad4}]

Vi reducerar matrisen

MatrixForm[ReduceradMatris=RowReduce[TotalMatris]]

Hur ser lösningsmängden ut?

En annan totalmatris

Vi byter ut en av ekvationerna

rad5={7,6,-6,3,-7};

MatrixForm[NyTotalMatris={rad1,rad2,rad3,rad5}]

MatrixForm[NyReduceradMatris=RowReduce[NyTotalMatris]]

Hur ser lösningsmängden ut?

Ett homogent system

Ett homogent system är en linjärt ekvationssystem, där alla ekvationerna har nollor i högerledet.

r1={1,1,1};
r2={2,3,-4};
r3={6,-1,12};
x={x1,x2,x3};
ekv1=r1.x==0
ekv2=r2.x==0
ekv3=r3.x==0

Vi reducerar koefficientmatrisen

MatrixForm[totmat=RowReduce[{r1,r2,r3}]]

?

Enhetsmatris!

Vad innebär detta?

Solve[{ekv1,ekv2,ekv3}]

Ett homogent system till

rr1={2,1,-1,0};
rr2={-1,3,2,0};
rr3={1,4,1,0};
MatrixForm[totmat2=RowReduce[{rr1,rr2,rr3}]]

Vad inebär detta?