IX1304 Matematik Analys VT 2012

Jan-Olof Åkerlund, COS, ICT-skolan, jo@kth.se

Föreläsning 1 Introduktion 
Adams Chapter 1

Reella tal

Naturliga tal, Positiva heltal

N={1,2,3,4,5,6,...}

Table[n,{n,1,10}]

Heltal

Z={...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,...}

Table[z,{z,-10,10}]

Rationella tal

Q={(m/n): m,n ∈Z, n≠0}

Table[m/n,{m,-3,3},{n,1,5}]

Irrationella tal

Övriga reella tal, t.ex π och(Sqrt[3])

N[Pi,100]
N[(Sqrt[3]),100]

Ett exempel: en matematisk modell

En låda utan lock kan konstrueras av en bit kartong där fyra likadana kvadrater klipps bort i hörnen, och sidorna sedan viks upp.  
Beskriv lådans volym V, som en funktion av x.

Lådans volym?

Längd = 22-2x
Bredd = 14-2x
Höjd =x
Volym= längd x bredd x höjd =(22 - 2 x) (14 - 2 x) x

?

Hur stor kan lådan bli
Hur mycket ska vi klippa ut i hörnen?

Vilka värden kan x anta?

Låt oss studera funktionen

Funktion

V[x_]:=(22-2 x) (14-2 x)x
V[x]//Expand

Plottning

Plottar

Plot[V[x],{x,-5,15}]

Plot[V[x],{x,0,7}]

Plot[V[x],{x,2,3}]

Beräkning

Derivera och bestäm derivatans nollställen

derivatan=D[V[x],x];
lösning=Solve[derivatan==0,x]

Exakt värde

Vi vet att det intressanta nollstället ligger i intervallet 0<x<7

xvärde=x/.lösning[[1]]

Numeriskt värde

N[xvärde,20]

Vad blir maxvärdet för volymen

V[xvärde]

V[xvärde]//Simplify

N[%]

Plotta och försök hitta maximum

Definitionsmängd och värdemängd?

Vi definierar funktionen som
	f(x)=308 x-72 (x^2)+4 (x^3), 0<x<7

och den funktionen har värdemängden
	[0,385.7]

Matematiska symboler

Symbolen ∈ “tillhör”

Att talet n tillhör mängden Z, 

dvs att n är ett heltal kan skrivas med symbolen  ∈  (  tillhör)
på detta sätt:
	n ∈Z

Exempel, definition av mängd

{x; x∈ R  och  -5<x<5}

som kan utläsas som “ x, sådant att x är ett reellt tal mellan -5 och 5”

En bil

En bil kör en timme med 70 km/h och sedan i ytterligare x min med 100 km/h. 
Hur långt har bilen kört?
Vad blir medelhastigheten?

Lösning

sträcka=70+(x/60)100;
tid=1+(x/60);
vmedel=((sträcka)/tid)

Simplify[vmedel]

Figur

Plot[vmedel,{x,0,60},AxesLabel->{"tid","medelhastighet"}]

Fler figurer

Plot[vmedel,{x,0,600},AxesLabel->{"tid","medelhastighet"}]

Plot[vmedel,{x,0,600},PlotRange->{0,100},AxesLabel->{"tid","medelhastighet"}]

Vad händer om bilen fortsätter länge? (I all evighet...)

Limit[vmedel,x->∞]

Olikheter och intervall

Studera olikheten:  (x^2)-1<0

olik=(x^2)-1<0;

Reduce [olik]

Svaret blir ett intervall (-1,1)

Några olikheter

Olikheter ger ofta intervall som svar

Reduce [(1-(x^2))>2]

Reduce [(1+(x^2))>2]

Reduce [(1+(x^2))≤2]

Reduce [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2)))<0]

Plot [(((x-1)(x+2))/((x-3)(x-2))),{x,-5,5}]

Adams P1, Example 5

Solve the inequality  (3/(x-1))<-(2/x)

Lösning

vl=3/(x-1);
hl=-2/x;

Plotta vänsterled (VL) och högerled (HL)  i samma figur

Plot[{vl,hl},{x,-2,2},PlotStyle->{{Red,Thickness[.005]},{Green,Thickness[.005]}}]

Plotta VL-HL

Plot[{vl-hl},{x,-2,2},PlotStyle->Thickness[.005]]

När är VL-HL=0 ?

Reduce[vl-hl==0]

Lös olikheten

Reduce[vl<hl,x]

Polynom och faktorer

Faktorisera polynomet 1

Lösning

pol1=-168 x+94 (x^2)+11 (x^3)-10 (x^4)+(x^5);
Factor[pol1]

Lösning 2

Solve[pol1==0]

Plot[pol1,{x,-4,8}]

Faktorisera polynomet 2

Lösning

pol2=(x^5)+7(x^4)-11(x^3)+2(x^2)-14 x+3

Factor[pol2]
Solve[pol2==0]

Hmm...

Solve[pol2==0]//N

Plot[pol2,{x,-10,10}]

Plot[pol2,{x,-1,2}]

Styckvis definierade funktioner

Piecewise[{{2x,x<2},{(x^2),x≥2}}]

Plot[Piecewise[{{2x,x<2},{(x^2),x≥2}}],{x,-2,4}]

funk[x_]:=Piecewise[{{(x^2),x>0&&x<1},{(Sqrt[x]),x≥1&&x<2}}]

funk[x]

TraditionalForm[%]

Plot[funk[x],{x,-1,3}]

Plot[UnitStep[x],{x,-3,3},PlotStyle->Thick]

Plot[UnitStep[x-1],{x,-3,3},PlotStyle->Thick]

Plot[UnitStep[x] Sin[2x],{x,-10,10},PlotStyle->Thick,AspectRatio->1/4]

Plot[UnitStep[x-1] Sin[x-1],{x,-5,10},PlotStyle->Thick]

Plot[ UnitStep[x-1]-UnitStep[x-2]+UnitStep[x-3]-UnitStep[x-4] ,{x,0,6},PlotStyle->Thick,AspectRatio->1/4]

Absolutbelopp

Absolutbelopp som funktion

|x|=({{{, ({{-x, x<0}, {x, x≥0}})}})

Plot

Absolutbeloppet kan plottas

Plot[Abs[x],{x,-5,5},AxesLabel->{x,Abs[x]}]

(Sqrt[4-|x|])

Undersök funktionen. Bestäm definitionsmängd och värdemängd

Plot[(Sqrt[4-Abs[x]]),{x,-5,5}]

Reduce[4-Abs[x]≥0,x ]

Reduce[4-Abs[x]≥0,x , Reals]

Exempel: Olikheter med absolutbelopp

Några exempel:

1.

Reduce[Abs[3x+5]≤3x-2,x]

Plot[
{Abs[3x+5],3x-2},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},
AxesLabel->{x,None}
]

2.

Reduce[Abs[3x+5]≤2x+6,x]

Plot

Plot[
{Abs[3x+5],2x+6},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},
AxesLabel->{x,None}
]

(Sqrt[4x-(x^2)])

Reduce[4x-(x^2)≥0,x , Reals]

Plot[(Sqrt[4x-(x^2)]),{x,-3,6}]

Skalning, spegling, skiftning

En parabel a (((x-b))^2)+c

Manipulate[
Grid[{{Expand[a (((x-b))^2)+c]},{a (((x-b))^2)+c},{ Plot[a (((x-b))^2)+c,{x,-8,8},PlotStyle->Thickness[.005], AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-5,5}]}}]
,{{a,1},-4,4,1},{{b,0},-4,4,1},{{c,0},-4,4,.1}]