Fritt fall, medelhastighet (Exempel 1 Adams 1.1)

En sten i vila släpps fritt från 400 meters höjd och faller. 
Under de t första sekunderna  faller den sträckan 
	4.9 (t^2)  [m.]

Hur ser det ut? Vi plottar höjden som funktion av tiden

höjd[t_]:=400-4.9(t^2)
p1=Plot[höjd[t],{t,0,5}]

Medelhastighet för intervallet [(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]:

	(Subscript[v, medel])=((Δy)/(Δt))=((4.9 (Subscript[t, 2]^2)-4.9 (Subscript[t, 1]^2))/((Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1])))

sträcka[t_]:=4.9(t^2)
vmedel[t1_,t2_]:=((sträcka[t2]-sträcka[t1])/(t2-t1))

Medelhastighet på intervallet [0, t]

Table[{n,vmedel[0,n]},{n,1,4}]//TableForm

g1=Graphics[{Red,Line[{{0,400},{1,höjd[1]}}],Line[{{0,400},{2,höjd[2]}}],Line[{{0,400},{3,höjd[3]}}],Line[{{0,400},{4,höjd[4]}}]}];
Show[p1,g1]

Medelhastigheten är detsamma som sekantens lutning.
Medelhastighet under en sekund.

Table[{{n-1,n},vmedel[n-1,n]},{n,1,4}]//TableForm

g2=Graphics[{Red,Line[{{0,400},{1,höjd[1]}}],Line[{{1,höjd[1]},{2,höjd[2]}}],Line[{{2,höjd[2]},{3,höjd[3]}}],Line[{{3,höjd[3]},{4,höjd[4]}}]}];
Show[p1,g2]

Medelhastigheten är densamma som sekantens lutning.

Momentan hastighet (Exempel 2 Adams 1.1)

Hur stor är stenens hastighet vid en viss tidpunkt?
Vi kan beräkna medelhastigheten för ett intervall [t,t+h], där h är intervallets längd. 
	(Subscript[v, medel]) =((Δy)/(Δt))=((4.9 (((t+h))^2)-4.9 (t^2))/h)

Hur ser det ut? Vi plottar höjden som funktion av tiden

vintervall[t_,h_]:=((4.9 (((t+h))^2)-4.9 (t^2))/h)

Vi kan nu beräkna medelhastigheten för korta intervall, med olika värden på h.
Till exempel för t=1:

Table[{((.1)^n),vintervall[1,((.1)^n)]},{n,0,6}]

h=0.1;
t=1;
Plot[{höjd[x],-vintervall[t,h]*(x-t)+höjd[t]},{x,t-0.5,t+1.5}]

Sekanten närmar sig tangenten när h minskar.

Eller för t=2:

Table[{((.1)^n),vintervall[2,((.1)^n)]},{n,0,6}]

h=1;
t=2;
Plot[{höjd[x],-vintervall[t,h]*(x-t)+höjd[t]},{x,t-0.5,t+1.5}]

Sekanten närmar sig tangenten när h minskar.

Momentan hastighet (Exempel 3 Adams 1.1)

Vi kan skriva om uttrycket för medelhastigheten 

	(Subscript[v, medel]) =((Δy)/(Δt))=((4.9 (((t+h))^2)-4.9 (t^2))/h)

4.9 (((((t+h))^2)-(t^2))/h)//Expand

Limit[((4.9 (((t+h))^2)-4.9 (t^2))/h),h->0]

vmomentan[t_]=Limit[((4.9 (((t+h))^2)-4.9 (t^2))/h),h->0]

Table[vmomentan[t],{t,0,6}]

När h -> 0 får vi hastigheten i en punkt!

Avsnitt 1.2 (Exempel 1)

f[x]==(((x^2)-1)/(x-1))//HoldForm//TraditionalForm

Definiera

funkE1[x_]:=(((x^2)-1)/(x-1))

Vad händer för x=1?

Funktionens värde

funkE1[1]

Funktionens graf

grafE1=Plot[funkE1[x],{x,-2,5}]

Funktionen ej definierad för x=1

Show[grafE1,Graphics[{PointSize[Large],Point[{1,2}]}]]

Gränsvärde

Limit[funkE1[x],x->1]

Avsnitt 1.2

Studera funktionen (((x^2)+x-2)/((x^2)+5x+6))

Diskussion

Definiera

f4a[x_]:=(((x^2)+x-2)/((x^2)+5x+6))

Testa

f4a[x]

x=-2 ?

f4a[-2]

Nämnaren

(x^2)+5x+6 /.x->-2

Graf

Plot[f4a[x],{x,-5,5}]

Faktorisera

täljare=Factor[(x^2)+x-2]
nämnare=Factor[(x^2)+5x+6]

Ny funktion

f4aFakt[x_]:=((Factor[(x^2)+x-2])/(Factor[(x^2)+5x+6]))

f4aFakt[x]

Plotta den nya funktionen

Plot[f4aFakt[x],{x,-5,5}]

Gränsvärde?

Limit[f4aFakt[x],x->-3]

?

Stämmer det med figuren?

Höger och vänster gränsvärde

Limit[f4aFakt[x],x->-3,Direction->1]
Limit[f4aFakt[x],x->-3,Direction->-1]

Vad är gränsvärdet då x -> ∞?

(((x^2)+x-2)/((x^2)+5x+6))=(((x^2)(1+(1/x)-(2/(x^2))))/((x^2)(1+(5/x)+(6/(x^2)))))=(((1+(1/x)-(2/(x^2))))/((1+(5/x)+(6/(x^2)))))-> ?

Limit[  ]

Limit[f4aFakt[x],x->Infinity]

Avsnitt 1.3  Gränsvärde i oändligheten ( ∞)

Vad är gränsvärdet då x -> ∞?

Funktion

f1[x_]:=(x/(Sqrt[(x^2)+1]))

Graf

Plot[f1[x],{x,-10,10}]

Funktionsvärden

x=1, 10 ...(10^5)

Table[{(10^n),f1[(10^n)]},{n,0,5}]

Numeriska värden

Table[{(10^n),f1[(10^n)]},{n,0,5}]//N

Tydligare (?) tabeller

Table[{(10^n),f1[(10^n)//N]},{n,0,5}]//Grid

Grid[Table[{(10^n),f1[(10^n)//N]},{n,0,5}],Frame->All]

Med 100 siffrors noggrannhet

N[Table[f1[(10^n)],{n,0,100,10}],100]

Limit[f1[x],x->∞]

Avsnitt 1.3 Oändliga gränsvärden

vad är det för funktioner?

Grid[
{Table[Plot[1/(x^n),{x,-5,5}],{n,0,5}]},Frame->All]

Vad händer när x->0 ?