IX1304,  VT2012
Jan-Olof Åkerlund

Föreläsning 5 Integraler

5.1 Summor

Med summasymbol (Stora sigma, Σ )

(∑_(n=0)^6)(x^n)

Funktionen Sum[ ] har samma struktur

Sum[(x^n),{n,0,6}]

?Sum

?Sum

Kortare steg

Sum[(x^n),{n,0,1,.2}]

Utan siffror

Sum[(x^n),{n,a,b}]

Sum[(x^n),{n,a,b,c}]

Förenkla

Simplify[%]

Summan=Sum[x,{x,a,b}]

Längre steg

Sum[(x^n),{n,1,12,3}]

5.2 Areor som summor

Bestäm arean av området mellan kurvan
	 y=33-3x+(x^2)
och x-axeln, för 0<x<30

Quit[]

Funktionen y=33-3x+(x^2), 0<x<30

m=30;
p=. 
funktion[x_]:=33-3 x+(x^2)
funkPlot=Plot[funktion[x],{x,0,m},PlotStyle->{Black,Thickness[.00005]},AxesLabel->{x,"f(x)= 33-3x+(x^2)"}];
Show[funkPlot ]

Definition av rektanglar

Vi väljer att dela upp området i ett antal rektanglar, med samma bredd i x-led

bara[n_]:=Graphics[{Opacity[.1],Red,EdgeForm[Thin],Rectangle[{n,0},{n+m/p,funktion[n+m/p]}]}]
barunder[n_]:=Graphics[{Blue,Opacity[.2],EdgeForm[Thin],Rectangle[{n,0},{n+m/p,funktion[n]}]}];

Rektanglar som approximation av arean mellan kurvan och x-axeln

p = antal rektanglar

m=30;
p=30;
ttt=Table[bara[k],{k,0,m-1,m/p}];
ttu=Table[barunder[k],{k,0,m-1,m/p}];
Show[funkPlot,ttt,ttu]

Vi kan se hur arean approximeras med
	En översumma (Rosa staplar)
	En undersumma (blå staplar)
	
	undersumman < arean < översumman

Summan av rektanglarnas areor

Bredden på varje rektangel är:
	(m/p)=(intervallet/(antal staplar))

Arean av en rektangel är:
	(m/p) · rektangelns höjd

Ett uttryck för areasumman.
Godyckliga värden på m och p.

m=.
p=.
areasum=Sum[funktion[n+m/p] m/p,{n,0,m,m/p}]

Gränsvärdet av summan

Gränsvärdet av summan när antalet rektanglar går mot oändligheten
(Godtyckligt värde på m!)

GränsvärdeArea=Limit[areasum,p->Infinity]//Expand

Vi jämför gränsvärdet med funktionen

funktion[m]
GränsvärdeArea

Vad ser vi?

Derivatan av gränsvärdet

D[GränsvärdeArea,m]

D[GränsvärdeArea,m]==funktion[m]

Tillbaka till exemplet (m=30)

Intervallet är [0,30], dvs m=30

Summan av rektanglarna för 
godtyckligt p.

areasum2=areasum/.m->30

Ju fler rektanglar, desto noggrannare resultat

Vi låter antalet rektanglar gå mot oändligheten

gränsvärdet=Limit[areasum2,p->Infinity]//N

Vi kan jämföra gränsvärdet med integralen

integralen=Integrate[funktion[x],{x,0,30}]//N

integralen==gränsvärdet

Hur många rektanglar behövs --- hur fort konvergerar summan?

m=30;
LogLogPlot[areasum-gränsvärdet,{p,1,1000},PlotRange->{1,10000},AxesLabel->{"Antal rektanglar","Skillnad"},PlotLabel->"Absolut skillnad mellan verklig area och rektangelsumma"]

LogLinearPlot[100(areasum-gränsvärdet)/gränsvärdet,{p,20,1000},PlotRange->{0.1,10},AxesLabel->{"Antal rektanglar","Skillnad (%)"},PlotLabel->"Procentuell skillnad mellan verklig area och rektangelsumma"]

5.4 Egenskaper hos integraler

Bestäm arean av det blå området

Plot[(x-2)(x+3)(x-5),{x,-3,6},Filling->Axis,AspectRatio->1/3,AxesLabel->{"x","f(x)"}]

?

f(x)= (x-2)(x+3)(x-5)
A=(∫_(-3)^2) f(x)dx -(∫_2^5) f(x)dx+(∫_5^6) f(x)dx

(∫_(-3)^2)(x-2)(x+3)(x-5)\[DifferentialD]x-(∫_2^5)(x-2)(x+3)(x-5)\[DifferentialD]x+(∫_5^6)(x-2)(x+3)(x-5)\[DifferentialD]x

Vad beräknar vi här?

(∫_(-3)^6)(x-2)(x+3)(x-5)\[DifferentialD]x

...och här

Integrate[Abs[(x-2)(x+3)(x-5)],{x,-3,6}]

?

Plot[Abs[(x-2)(x+3)(x-5)],{x,-3,6},Filling->Axis,AspectRatio->1/3,AxesLabel->{"x","|f(x)|"}]

...och här?

värde=(1/(6-(-3)))Integrate[(x-2)(x+3)(x-5),{x,-3,6}]

Figur

Plot[{(x-2)(x+3)(x-5),värde},{x,-3,6},AspectRatio->1/3,AxesLabel->{"x","f(x)"}]

Udda funktioner

För en udda funktion gäller att
	f(x)=-f(-x)

T.ex. Sin(x)

Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi},AspectRatio->1/3,Filling->Axis]

Sin[x]==-Sin[-x]

Integrate[Sin[x],{x,-a,a}]

Medelvärdet av beloppet av funktionen

Integrate[Abs[Sin[x]],{x,-Pi,Pi}]/(2Pi)
N[%]

Roten ur medelvärdet av beloppet av funktionen i kvadrat

Integrate[(((Abs[Sin[x]]))^2),{x,-Pi,Pi}]/(2Pi)
(Sqrt[%])
N[%]

Jämna funktioner

För en jämn funktion gäller att
	f(x)=f(-x)

Cosinus är en jämn funktion

Plot[Cos[t],{t,-Pi,Pi}]

Jämn?

Fjämn[t_]:=5-(t^2)

?

Testa

Fjämn[x]==Fjämn[-x]

Plotta

Plot[Fjämn[x],{x,-3,3}]

Area

Integrate[Fjämn[x],{x,-3,3}]

Medelvärde

medel=Integrate[Fjämn[x],{x,-3,3}]/(3-(-3))

Jämför de blå areorna

Plot[{Fjämn[x],medel},{x,-3,3},Filling->{1->2}]

Udda eller jämn?

Plot[Sin[.6x+π/3],{x,- 4π/3,2π},Filling->Axis,AspectRatio->1/3]

Area

Integrate[Sin[.6x+π/3],{x,- 4π/3,2π}]
Chop[%]

Styckvis definierade funktioner

Bestäm arean under kurvan:

	({{\[Piecewise], ({{x, 0<x<1
}, {(1/(x^3)), 1<x<2}})}})

Figur

StyckvisFunk=Piecewise[{{x,0<x<1},{1/(x^3),1<x}}];
Plot[StyckvisFunk,{x,0,2},Filling->Axis]

Arean

Dela upp arean i två områden, en för vardera funktionen

(∫_0^1)xdx+(∫_1^2)(1/(x^3))dx

Integrate[x,{x,0,1}]+Integrate[1/(x^3),{x,1,2}]

Ändra intervall

Vi ändrar definitionen:

	({{\[Piecewise], ({{x, -5<x<0
}, {(1/(x^3)), 0<x<5}})}})

Figur

StyckvisFunk2=Piecewise[{{x,x<0},{1/(x^3),x>0}}];
Plot[StyckvisFunk2,{x,-5,5},Filling->Axis]

Integral

Integrate[x,{x,-5,0}]+Integrate[1/(x^3),{x,0,5}]

???

Primitiv funktion

Integrate[1/(x^3),x]

%/.x->0

!!!

(1/(x^3)) är ej definierad för x=0