IX1304 Matematisk analys VT 2012

Föreläsning 6 Mer om intergration

5.6 Substitution

1.Enkelt exempel

Integrate[((t^2)/((t^3)+6)),t]//HoldForm//TraditionalForm

Substitution

g=(t^3)+6        =>(dg/dt)=3 (t^2)     

=> dg=3 (t^2)dt
      
=> (dg/3)= (t^2) dt

Vilket ger

(1/3)∫(1/g)\[DifferentialD]g=(1/3)ln|g|=(1/3)ln|(t^3)+6|

Vi testar

Integrate[((t^2)/((t^3)+6)),t]

1 b Bestämd integral

Samma funktion

Integrate[((t^2)/((t^3)+6)),{t,0,4}]//HoldForm//TraditionalForm

Integrationsgränserna ger

t=0=>g=6
t=4=>g=70

Och vi får

(1/3)ln|(4^3)+6|-(1/3)ln|(0^3)+6|=(1/3)(ln 70-ln6)=ln (70/6)=ln (35/3)

Vi testar

Integrate[((t^2)/((t^3)+6)),{t,0,4}]

Trigonometrisk integral

I=∫sin(x) (cos^2)(x)\[DifferentialD]x

Substitution

t= sin x eller t=cos x ?

cos(x)=t   =>  -sin(x) dx=dt

Vi får då

I=-∫ (t^2)\[DifferentialD]x=-((t^3)/3)=-((cos (((x))^3))/3)

Test

Integrate[Sin[x] ((Cos[x])^2),x]

5.7 Arean av plana ytor

Exempel 1

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-3Pi/4,2Pi},Filling->{1->{2}},AspectRatio->1/3,AxesLabel->{"x","sin x och cos x"},Ticks->{{-3Pi/4,-Pi,-Pi/2,Pi/2,Pi,3Pi/2,2Pi}}]

Bestäm arean av det blå området.
Hur ser uttrycket ut son ger oss arean

Uttryck

Integrate[Cos[x]-Sin[x],{x,-3Pi/4,Pi/4}]+Integrate[Sin[x]-Cos[x],{x,Pi/4,5Pi/4}]+Integrate[Cos[x]-Sin[x],{x,5Pi/4,8Pi/4}]//HoldForm//TraditionalForm

Beräkning

Integrate[Cos[x]-Sin[x],{x,-3Pi/4,Pi/4}]+Integrate[Sin[x]-Cos[x],{x,Pi/4,5Pi/4}]+Integrate[Cos[x]-Sin[x],{x,5Pi/4,8Pi/4}]

Exempel 2

Bestäm arean av det  ändliga område ovanför x-axeln som begränsas av kurvorna
	y=(x^2)-9  och	y=2x+6
och ligger ovanför x-axeln

Skärningspunkter

Solve[2x+6==(x^2)-9]
Solve[0==(x^2)-9]

Hur ser det ut?

Plot[{2x+6,(x^2)-9},{x,-5,7}]

Tydligare?

Plot[{2x+6,(x^2)-9},{x,-3,5},Filling->{2->Axis}]

Arean mellan kurvorna

AreaMellan=Integrate[2x+6-((x^2)-9),{x,-3,5}]

Arean under x-axeln

AreaUnder=-Integrate[((x^2)-9),{x,-3,3}]

Sökt area

AreaMellan-AreaUnder

6.1 Partiell integration

Metoden

Studera funktionen
	f(x)=g(x)·h(x)

Derivera
	f'(x)=g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)

Integrera båda led
	∫ VL=∫ HL  => ∫ f'=∫ g'h+∫ g h' 

Lös ut den röda termen
	∫ g'h= f-∫ g h'

Och vi får	
	
	∫ g'h= g·h-∫ g h'

Formel

∫ g'h= g·h-∫ g h'

Exempel 1

Integrate[Cos[x]Sin[x],x]//HoldForm//TraditionalForm

Lösning

∫cos(x) sin(x)dx=sin(x)sin(x)-∫sin(x)cos(x)dx

Vilket ger
	2∫cos(x) sin(x)dx=-(sin^2)(x)
och
	∫cos(x) sin(x)dx=-(1/2)(sin^2)(x)

Vi testar

Integrate[Cos[x]Sin[x],x]

Exempel 2

Integrate[(x^2)ln[x],x]//HoldForm//TraditionalForm

Lösning

∫(x^2) ln(x)dx=

 (1/3)(x^3) ln(x)-∫(1/3)(x^3) · (1/x) dx=

 (1/3)(x^3) ln(x)-∫(1/3)(x^2)  dx=

(1/3)(x^3) ln(x)-(1/9)(x^3)+C

Test

Integrate[(x^2)Log[x],x]

6.3 Partialbråk

Två bråk

b1=(1/(x-a))
b2=(1/(x+b))

Summan av bråken

b1b2=b1+b2

Ett bråk till

nämn=-a b-a x+b x+(x^2);
b3=((-a+b+2 x)/(nämn));

Är de lika?

b3==b1b2

Inget svar? Vi förenklar!

Simplify[%]

Faktorisera nämnaren

Factor[nämn]

Exempel med siffror

bråk=((3x+5(x^2)-7)/(Factor[-12-x+(x^2)]))

Ansats (partialbråk)

((a +b x)/(x-4))+((c+d x)/(x+3))=(((a +b x)(3+x)+(c+d x)(x-4))/((x-4)(x+3)))=((3 a-4 b+x(a+b))/((x-4)(x+3)))=(((b+d)(x^2)+(a+3b+c)x+3a-4c)/(x-4)(x+3)))

Täljarna identiskt lika

(b+d)(x^2)+(a+3b+c)x+3a-4c≡3x+5(x^2)-7

ekv1=b+d==5;
ekv2=a+3b+c==3;
ekv3=3a-4c==-7;
lösn=Solve[{ekv1,ekv2,ekv3}]

En fri variabel

lösn/.d->0

Det ger

((-(55/7) +5 x)/(x-4))+((-(29/7) )/(x+3))=-(55/(7 (-4+x)))+((5 x)/(-4+x))-(29/(7 (3+x)))

Integral partialbråk

Integrate[-(55/(7 (-4+x)))+((5 x)/(-4+x))-(29/(7 (3+x))),x]

Integral ursprungliga bråket

Integrate[bråk,x]

6.5 Generaliserad integral (okommenterade bilder från föreläsningen)

Integrate[1/x,{x,0,Infinity}]

Integrate[1/x,{x,0,5000}]

Integrate[1/x,{x,1,50}]

Integrate[1/x,x]

Limit[Log[x],x->0]

Limit[Log[x],x->Infinity]

Plot[1/x,{x,0,20}]

Integrate[1/x,x]

Plot[Log[x],{x,-1,5}]