IX1304 Matematik, Analys. Föreläsning 2010-05-06 (Uppdaterad 2012-04-18)

Talföljder och serier

En ordnad ändlig mängd

Ett exempel på en ordnad mängd

{1,3,5,7,9,11, 13}

Mängden är:
	ordnad, dvs elementen står i en bestämd ordning
	ändligt, dvs den har ett bestämt antal element (7 i detta fall)
	
Dessutom följer elementen i mängden ett visst mönster; de utgörs av de fem första udda positiva heltalen. Vi kan beskriva mönstret genom att t.ex. skriva

{1,3,5,...,11}
eller
	(Subscript[a, n])=2n-1  för  n= 1,2,...7

Vi ser  också att vi kan beskriva ett godtyckligt element i mängden när vi vet det föregående, på följande sätt:

(Subscript[a, n])=2+ (Subscript[a, n-1])

För att beskriva hela mängden måste vi dock lägga till införmationen att

(Subscript[a, 1])=1 
och att 
	n= 1,2,...7

En talföljd (en ordnad oändlig mängd)

En talföljd är en ordnad lista med startelement, men inget slut.

T.ex:
	{1,2,3,4... }   (Mängden positiva heltal)
	
	{(1/1), (1/2), (1/3), (1/4), ...}  där mönstret är tydligt
	
Oftast är talföljden definierad för n={1,2,3,4... }. 

Ett vanligt sätt att beteckna elementen i mängden är
	{(Subscript[a, 1]) ,(Subscript[a, 2]), (Subscript[a, 3]), (Subscript[a, 4]), ... (Subscript[a, n]) ...}

(Man måste förstås inte använda bokstaven a)

Egenskaper hos talföljder

Begränsad

En talföljd kan vara nedåt begränsad
	om  (Subscript[a, n])≥L  ∀  n= 1, 2, 3...

eller uppåt begränsad 
	om (Subscript[a, n])≤L

Exempel:  	(Subscript[a, n])=(1/n)>0 för n>0
	(Subscript[a, n])=(1/n)≤1 för n>0

ListPlot[Table[1/n,{n,1,100}],PlotRange->All,AspectRatio->1/3,AxesLabel->{"n","(1/n)"}]

Avtagande

Talföljden är avtagande om
(Subscript[a, n+1])<(Subscript[a, n])

Exempel:  (Subscript[a, n])=(1/n); (Subscript[a, n+1])=(1/(n+1))
(Subscript[a, n])>(Subscript[a, n+1])

Alternerande

Exempel:  	(Subscript[a, n])=(((-(1/2)))^n)	
Talföljden för n=0, 1,2,...20

Table[(((-1/2))^n),{n,0,20}]

Talföljden plottad

ListPlot[Table[(((-1/2))^n),{n,0,20}],PlotRange->All, PlotStyle->{Red, PointSize[Large]}]

Vi kan se att den alternerar

ListLinePlot[Table[(((-1/2))^n),{n,0,20}],PlotRange->All]

Ett exempel

En talföljd definieras av
	(Subscript[a, n])=((2 (n^2)-n-1)/(5 (n^2)+n-3))

20 element i talföljden

{0,(5/19),(14/45),(1/3),(44/127),(65/183),(30/83),(119/325),(152/411),(63/169),(230/613),(275/729),(36/95),(377/991),(434/1137),(165/431),(560/1459),(629/1635),(234/607),(779/2017)}

an=((2 (n^2)-n-1)/(5 (n^2)+n-3));
anlist=Table[an,{n,1,20}];
ListPlot[anlist,PlotRange->All,PlotLabel->"20 element",AxesLabel->{n,(Subscript[a, n])},PlotStyle->Directive[PointSize[.02]]]

200 element i talföljden

an2list=Table[an,{n,1,200}];
ListPlot[an2list,PlotRange->{.25,.4},PlotLabel->"200 element",AxesLabel->{n,(Subscript[a, n])},PlotStyle->Directive[PointSize[.01]]]

Gränsvärde

Limit[((2 (n^2)-n-1)/(5 (n^2)+n-3)),n->Infinity]

?

Talföljden är uppåt begränsad

Serier

En ändlig summa

Summan har 15 termer ( n=1, 2, 3 ...15)

summa1=(∑_(n=1)^15)(1/(n^2))

Summan har 1 ... 15 termer

sumtab=Table[(∑_(n=1)^m)(1/(n^2)),{m,1,15}]//N

ListPlot[sumtab,PlotStyle->PointSize[.03],AxesLabel->{"Antal termer","Summa"}]

En oändlig serie

summa2=(∑_(n=1)^∞)(1/(n^2))

Skillnaden?

Vad är skillnaden mellan summan med 15 termer och summan av den oändliga serien

N[summa2-summa1]

Existerar summan?

En annan oändlig serie

(∑_(n=1)^∞)(1/n)

En tredje oändlig serie

(∑_(n=1)^∞)(n/(n+1))

Gränsvärdet av (Subscript[a, n])

Limit[(n/(n+1)),n->Infinity]

Limit[(1/(n^2)),n->Infinity]

Limit[(1/n),n->Infinity]

Geometrisk serie

Hur ser den ut (kvoten a)

11 termer  (0 ... 10)

Sum[(a^n),{n,0,10}]

Oändligt många

Sum[(a^n),{n,0,Infinity}]

Kvot=0.1

Tio termer

Sum[ ((.1)^n),{n,0,10}]

Oändligt många termer

Sum[ ((.1)^n),{n,0,Infinity}]

??

%==(1/(1-.1))

1 till 10 termer

Table[Sum[ ((.1)^n),{n,0,p}],{p,1,10,1}]

Kvot=0.9

Tio termer

Table[Sum[ ((.9)^n),{n,0,p}],{p,1,10,1}]

10 till 100 terner

Table[Sum[ ((.9)^n),{n,0,p}],{p,10,100,10}]

Oändligt många termer

Sum[((.9)^n),{n,0,Infinity}]

Kvot=0.99

Table[Sum[ ((.99)^n),{n,0,p}],{p,100,1000,100}]

Kvot=1

Sum[ (1^n),{n,0,10}]

Sum[ (1^n),{n,0,h}]

Potensserie

Serien är en god approximation av funktionen i ett intervall

8 termer

pot8=Sum[(x^p),{p,0,8}]
Plot[{pot8,1/(1-x)},{x,-1,1}]

20 termer

pot20=Sum[(x^p),{p,0,20}];
Plot[{pot20,1/(1-x)},{x,-1,1},AxesLabel->{"X","Serie och funktion"}]

Absolut fel

Plot[Abs[pot20-1/(1-x)],{x,-1,1},AxesLabel->{"X","Absolut fel"}]

Relativt fel

Plot[Abs[pot20-1/(1-x)]/(1/(1-x))100,{x,-1,1},AxesLabel->{"X","Relativt fel (%) "}]

Taylorserie

En funktion

Quit[]

funk1[x_]=((3 Log[(((2+x))^2)])/(((2+x))^2));

Plot[funk1[x],{x,-1,5}]

En linjär approximation (tangenten för x=2)

dfunk1[x_]=D[funk1[x],x];
approxfunk1[a_,x_]=funk1[a] +(x -a)dfunk1[a];
linje=approxfunk1[2,x]

N[linje]//Expand

Plotten visar funktionen med linjär approximation

Plot[{funk1[x],linje},{x,-1,5}]

Noggranheten verkar bäst inom intervallet [1,3] så jag plottar det procentuella felet i detta område

Plot[100(funk1[x]-linje)/funk1[x],{x,1,3},AspectRatio->1/3]

En approximation kring x=1 ser istället ut så här

linje2=approxfunk1[1,x];
Plot[{funk1[x],linje2},{x,-1,5}]

Taylorpolynom, gradtal2, kring x=2

d2funk1[x_]=D[dfunk1[x],x];
taylor1[a_,x_]=funk1[a] +(x -a)dfunk1[a]+(((x -a))^2)d2funk1[a]/2;
taylor1[2,x]//N//Expand

Plot[{taylor1[2,x],funk1[x]},{x,-1,5}]

Funktionen Series i Mathematica kan direkt ge oss ett Taylorpolynom av gradtal 5

ser=Series[((3 Log[(((2+x))^2)])/(((2+x))^2)),{x,2,5}]//Normal
N[%]//Expand

Plot[{ser,funk1[x]},{x,-1,5}]

Fourierserier

En sinusfunktion

En sinusformad signal kan skrivas som
	A Cos[(Subscript[w, 0]) t + ϕ]
	
A= amplitud [V]
(Subscript[ω, 0])= vinkelfrekvens [rad/s]
ϕ = fasförskjutning [rad]

Manipulate[Grid[{{Plot[A Cos[w0 t+ϕ],{t,0,0.02},PlotRange->{-10,10},AspectRatio->.4]},{A Cos[w0 t+ϕ]}}],{{A,10,"Amplitud"},2,10,.25},{{ w0,2Pi 440,"Vinkelfrekvens"}, Pi 220,8 Pi 440,10Pi},{{ϕ,-2/5  Pi,"Fasförskjutning"},-Pi,Pi,Pi/10}]

Summan av två sinusfunktioner med samma period

Manipulate[Grid[{{"Fasskillnad"},{ fasfi},{Plot[{Cos[5 t],Cos[fasfi+5 t]},{t,-Pi,Pi},PlotRange->{-2,2}]},{"Summan av två kurvor med olika fas"},{Plot[Cos[5 t]+Cos[fasfi+5 t],{t,-Pi,Pi},PlotRange->{-2,2}]}}],{{fasfi,-Pi/3},-Pi,Pi}]

Kurvorna med visardiagram

Manipulate[
Grid[{
{Plot[ {5 Cos[5 t+ϕ+Pi/3],5 Cos[5 t+Pi/3]},{t,0,Pi},PlotRange->{-10,10},AspectRatio->1,PlotStyle->{Red,Blue}],
Graphics[{
Red,Thin,Arrow[{{0,0},5{ Cos[ϕ+Pi/3], Sin[ϕ+Pi/3]}}],
Blue,Thin,Arrow[{{0,0},5{ Cos[Pi/3], Sin[Pi/3]}}
]},
PlotRange->{{-10,10},{-10,10}},Axes->True]},
{Plot[5 Cos[5 t+Pi/3]+5 Cos[5 t+ϕ+Pi/3],{t,0,Pi},PlotRange->{-10,10},AspectRatio->1,PlotStyle->{Thick,Green}],
Graphics[
{
Thin,Blue,Arrow[{{0,0},5{ Cos[Pi/3], Sin[Pi/3]}}],
Thin,Red,Arrow[{5{ Cos[Pi/3], Sin[Pi/3]},5{ Cos[ϕ+Pi/3]+Cos[Pi/3], Sin[ϕ+Pi/3]+Sin[Pi/3]}}],
Thick,Green,Arrow[{{0,0},5{ Cos[ϕ+Pi/3]+Cos[Pi/3], Sin[ϕ+Pi/3]+Sin[Pi/3]}}]
},PlotRange->{{-10,10},{-10,10}},Axes->True]
}},
ItemSize->All],
{{ϕ,Pi/12,"Fasförskjutning"},-Pi,Pi}]

De två sinusfunktionerna var för sig

Plot[{f1,1/3 Sin[3 t]},{t,0,10}]

Summan av tre sinusfunktioner

f3=Sum[1/n Sin[n t],{n,1,5,2}]

Plot[f3,{t,0,17}]

Summan av åtta sinusfunktioner

f4=Sum[1/n Sin[n t],{n,1,15,2}]

Plot[f4,{t,0,17}]

En signal till  - med två övertoner

Här kommer en signal som består av grundton plus två övertoner.

flerasinus4=(1/1)Sin[2 Pi (10) t]+(1/2)Sin[2 Pi(2 10) t]+(1/3)Sin[2 Pi(3 10) t];
Plot[{flerasinus4},{t,0,.5},AspectRatio->1/4]

Vad händer när vi lägger till fler termer i serien

Manipulate[Plot[{Sum[((((-1))^(n+1))/(2n-1))Cos[2 Pi((2n-1) 10) t],{n,1,p}]},{t,0,.2},AspectRatio->1/4],{p,1,40,1}]