F7 - Tillämpningar av integral

KTH/ICT: IX1304, VT-2012
Göran Andersson, goeran@kth.se
120419

Mål

Att kunna redogöra för följande begrepp

Volym

Båglängd

Separabel differentialekvation

att kunna

ställa upp och beräkna en volymintegral i enkla fall

ställa upp en integral för båglängd

beräkna båglängd för hand i enkla specialfall

ställa upp och lösa enkla separabla diff.ekvationer

Innehåll

Teori

Adams chapter 7.1-4, 7.9

Volym i tunna skivor

Adams (6^th) ed. ch. 7.1-2
Adams (7^th) ed. ch. 7.1-2

Teori

Vi har ju tidigare sett att en area kan ses som en serie av tunna rektangelareor, där varje rektangel har arean h(x)dx.

A=(∫_a^b)h(x)dx

På samma sätt kan en volym ses som en serie av tunna skivor, där varje skiva har volymen A(x)dx.

V=(∫_a^b)A(x)dx

I det fall då kroppen är rotationssymmetrisk kring x-axeln kan blir snittarean cirkulär och vi kan skriva

V=(∫_a^b)π (((r(x)))^2)dx

Använd musen för att vrida på figurerna ovan. Då framgår att snittytorna i det senare fallet är cirkulära.

Exempel 1

Kurvan

y=1-(((x-1))^2), 0≤x≤2

Roterar runt x-axeln. Vad blir volymen av rotationskroppen.

Lösning

Då kurvan roterar kommer y att vara radie i tvärsnittscirkelskivor med volym

dV=A(x)dx=π (y^2)dx=π (((1-(((x-1))^2)))^2)dx=π ((x^4)-4 (x^3)+4 (x^2))dx

Dvs. volymen blir

V=(∫_0^2)A(x)dx=π(∫_0^2)((x^4)-4 (x^3)+4 (x^2))dx

=(Subscript[π [((x^5)/5)-(x^4)+4 ((x^3)/3)], 0]^2)=π ((((2^5)/5)-(2^4)+4 ((2^3)/3))-0)=(16/15)π

Mathematica

ClearAll["`*"]

y[x_]:=1-(((x-1))^2)
A[x_]:=π ((y[x])^2)

V=(∫_0^2)A[x]\[DifferentialD]x

Plot[y[x],{x,0,2},AxesLabel->{"x","y"}]

RevolutionPlot3D[
{x,y[x],0},{x,0,2},
RevolutionAxis->{1,0,0},
AxesLabel->{"x","y","z"},
PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-2,2}}
]

Exempel 2

Kurvan

y=1-(((x-1))^2), 0≤x≤2

Roterar runt y-axeln. Vad blir volymen av rotationskroppen.

Lösning 1

Då kurvan  runt y-axeln roterar kommer x att vara radie i cirkelband.

Volymen dV av den tunna ringen erhålls genom att tvärsnittsarean dA=y dx roterar runt omkretsen 2π x.

dV=2π x dA=2π x y dx

Dvs. volymen blir

V=(∫_0^2)2π x y dx=(∫_0^2)2π x (1-(((x-1))^2)) dx

=2π(∫_0^2) (2 (x^2)-(x^3)) dx=2(Subscript[π  [2 ((x^3)/3)-((x^4)/4)], 0]^2)=2π (2 ((2^3)/3)-((2^4)/4)-0)=((8π)/3)

Mathematica 1

ClearAll["`*"]

y[x_]:=1-(((x-1))^2)

V=(∫_0^2)2π x y[x]\[DifferentialD]x

RevolutionPlot3D[
{x,y[x],0},{x,0,2},
RevolutionAxis->{0,1,0},
Axes->{True,True,False},
AxesLabel->{"x","y",""},
PlotRange->{{-2,2},{0,2},{-2,2}},
PlotPoints->{5,15},
ViewPoint->{0,3,-2},
Boxed->False,AxesOrigin->{0,0,0},
Mesh->3
]

Lösning 2

Vi ska lösa uppgiften på ett alternativt sätt som är något besvärligare, men som ger erfarenhet.
Denna gång väljer vi istället horisontella tvärsnitt som får rotera runt y-axeln. Radien x kommer då att variera mellan värdena (Subscript[x, 1])och (Subscript[x, 2])enligt figuren.

y=1-(((x-1))^2)⇔(((x-1))^2)=1-y⇔(Subscript[x, 2,1])=1±(Sqrt[1-y]),0≤y≤1

Skivan som genereras då tvärsnittet (Subscript[x, 2])(y)-(Subscript[x, 1])(y) roterar runt y-axeln kommer att ha arean A(y)

A(y)=(π (Subscript[x, 2]^2)-π (Subscript[x, 1]^2))=π ((Subscript[x, 2]^2)-(Subscript[x, 1]^2))=π ((((1+(Sqrt[1-y])))^2)-(((1-(Sqrt[1-y])))^2))=4π(Sqrt[1-y])

Skivans volym blir

dV=A(y)dy=π ((Subscript[x, 2]^2)-(Subscript[x, 1]^2))dy=4π(Sqrt[1-y])dy

Dvs. volymen blir

V=(∫_0^1)A(y)dy=4π(∫_0^1)(Sqrt[1-y])dy(Piecewise[{{1-y=t}, {dy=-dt}}]) }=4π(∫_(1-0)^(1-1))(Sqrt[t])(-dt)=4π(∫_0^1)(t^(1/2))dt

Vid substitutionen används ((dt)/(dy))=-1=>dy=-dt.

∴V=4(Subscript[π [((t^(3/2))/(3/2))], 0]^1)=4π ((2/3)-0)=((8π)/3)

Mathematica 2

ClearAll["`*"]

y[x_]:=1-(((x-1))^2)

{x1[y_],x2[y_]}=x/.Solve[y[x]==y,x]

A[y_]:=π (((x2[y])^2)-((x1[y])^2))

V=(∫_0^1)A[y]\[DifferentialD]y

Exempel 3

Antag att en kon har basarean B och höjden h. Vad blir då volymen?

Lösning

På grund av proportionaliteten blir

((B(x))/B)=((((x/h)))^2)⇔B(x)=(B/(h^2))(x^2)

Volymen kan därmed skrivas:

V=(∫_0^h)B(x)dx=(∫_0^h)(B/(h^2))(x^2)dx=(B/(h^2))(∫_0^h)(x^2)dx=(Subscript[(B/(h^2))[((x^3)/3)], 0]^h)=(B/(h^2)) (((h^3)/3)-((0^3)/3))=(1/3)B h

V=(1/3)B h

Observera allmängiltigheten i formeln. Vi har inte antagit någonting om form eller utseende på basarean.

Båglängd

Adams (6^th) ed. ch. 7.3
Adams (7^th) ed. ch. 7.3

Teori

Att beräkna längden av en kurva liknar problemet att beräkna arean under grafen till en funktion. Vi kan dela upp kurvan i små (infinitesmala) segment ds och integrera.

ds=(Sqrt[(((dx))^2)+(((dy))^2)])=(Sqrt[(1+(((((dy)/(dx))))^2))(((dx))^2)])=(Sqrt[1+(((((dy)/(dx))))^2)])dx=(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx

ℒ=(∫_(Subscript[s, 0])^(Subscript[s, 1]))ds=(∫_(Subscript[x, 0])^(Subscript[x, 1]))(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx

Denna eleganta och till synes enkla formel leder tyvärr oftast till svåra primitiva funktioner. I praktiken måste integrationen lösas numeriskt. Dvs. vi är tillbaka till summa-formeln.

ℒ≈(∑_(k=0)^(n-1)) Δ(Subscript[s, k])=(∑_(k=0)^(n-1)) (Sqrt[(((Δ(Subscript[x, k])))^2)+(((Δ(Subscript[y, k])))^2)])=(∑_(k=0)^(n-1)) (Sqrt[(h^2)+(y((Subscript[x, 0])+(k+1) h)-((y((Subscript[x, 0])+k h ))^2)])

Exempel 1

Bestäm längden av

y=(x^(3/2)), 0≤x≤1

Lösning

Med y(x)=(x^(3/2)) får vi

ℒ=(∫_0^1)(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx=(∫_0^1)(Sqrt[1+((((3/2)(x^(1/2))))^2)])dx=(∫_0^1)(Sqrt[1+(9/4)x])dx{({{t=1+(9/4)x}, {dt=(9/4) dx}})}

=(∫_(1+(9/4)0)^(1+(9/4)1))(Sqrt[t])((4/9)dt)=(4/9)(∫_1^(13/4))(t^(1/2))dt=(Subscript[(4/9) [((t^(3/2))/(3/2))], 1]^(13/4))=(Subscript[(8/27) [(t^(3/2))], 1]^(13/4))=(8/27)(((((13/4)))^(3/2))-(1^(3/2)))

=(8/27)((13/4)(Sqrt[(13/4)])-1)=(1/27)(13(Sqrt[13])-8)≈1.43970987337155`

Mathematica

ClearAll["`*"]

y[x_]:=(x^(3/2))

L=(∫_0^1)(Sqrt[1+(((y'[x]))^2)])\[DifferentialD]x

Det numeriska värdet blir:

N[L]

Vi kan även använda NIntegrate.

NIntegrate[(Sqrt[1+(((y'[x]))^2)]),{x,0,1}]

Låt oss beräkna längden "manuellt" med en summa av linje-segment.

n=25;
x0=0;x1=1;
h=((x1-x0)/n);
N[(∑_(k=0)^(n-1))(Sqrt[(h^2)+(((y[x0+(k+1)h]-y[x0+k h]))^2)])]

n=250;
h=((x1-x0)/n);
NSum[(Sqrt[(h^2)+(((y[x0+(k+1) h]-y[x0+k h]))^2)]),{k,0,n-1}]

Exempel 2

Bestäm längden av

y=sin(x), 0≤x≤π

Lösning

Denna relativt enkla kurva leder till en avancerad elliptisk integral (utanför kursramen). Med y(x)=sin(x) får vi

ℒ=(∫_0^π)(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx=(∫_0^π)(Sqrt[1+(cos^2)(x)])dx=2(∫_0^(π/2))(Sqrt[1+(cos^2)(x)])dx

=2(Sqrt[2])(∫_0^(π/2))(Sqrt[1-(1/2)(sin^2)(x)])dx=2(Sqrt[2])(EllipticE[(1/2)])≈2(Sqrt[2])×1.350643881047675`≈3.820197789027711`

Du kan slå upp denna funktion i BETA under "Elliptic integrals". Värdet kan läsas av i tabellen med (k^2)=(1/2), vilket motsvarar α=45°.

Mathematica

ClearAll["`*"]

y[x_]:=Sin[x]

L=(∫_0^π)(Sqrt[1+(((y'[x]))^2)])\[DifferentialD]x

Det numeriska värdet blir:

N[L]

Exempel 3

Under sektionen "Volym i tunna skivor" ovan bestämdes i exempel 1 rotationsvolymen till kroppen som genereras då kurvan

y=1-(((x-1))^2), 0≤x≤2

som roterar runt x-axeln. Vad blir kroppens area?

Lösning

Låt en liten del ds av kurvan rotera runt x-axeln. Då genereras ett smalt cirkelband av ytan. Eftersom radien i cirkeln är (Abs[y(x)]) blir arean av det smala bandet.

dA=2π (Abs[y(x)]) ds=2π (Abs[y(x)])(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx=2π (Sqrt[(((y(x)))^2)(1+(((y'(x)))^2))])dx

Arean kan därmed skrivas:

A=2π(∫_(Subscript[x, 0])^(Subscript[x, 1]))(Abs[y(x)])(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])dx

I vårt fall har vi

y(x)=1-(((x-1))^2)==>y'(x)=-2(x-1)

=>(Abs[y(x)])(Sqrt[1+(((y'(x)))^2)])=(1-(((x-1))^2)) (Sqrt[1+4 (((x-1))^2)])=x (2-x)(Sqrt[1+4 (((x-1))^2)])

Den integral vi har att bestämma blir därmed:

A=2π(∫_0^2)x (2-x)(Sqrt[1+4 (((x-1))^2)])dx

Det ligger utanför kursramen att hitta primitiv funktion här så vi överlämnar detta till Mathematica.

Mathematica

ClearAll["`*"]

y[x_]:=1-(((x-1))^2)

A=2π(∫_0^2)Abs[y[x]](Sqrt[1+(((y'[x]))^2)])\[DifferentialD]x

Det numeriska värdet blir:

N[A]

Anm. Absolutbelopp är besvärliga funktioner i integraler. Ibland kan det behövas manuell förenkling av uttrycken. Här kunde vi t.ex. ha tagit bort absolutbeloppet helt eftersom y(x)≥0 i integrationsintervallet.

Separabla differentialekvationer

Adams (6^th) ed. ch. 7.9
Adams (7^th) ed. ch. 7.9

Teori

En differentialekvation som kan skrivas

((dy)/(dx))=f(x)g(y)

kallas separabel. Lösningen till en sådan ekvation är direkt integrerbar genom:

∫((dy)/(g(y)))=∫f(x)dx

Exempel 1

Lös ekvationen

((dy)/(dx))=-(x/y)

Lösning

Ekvationen separeras och integreras enligt

((dy)/(dx))=-(x/y)⇔y dy=-x dx=>∫y dy=-∫x dx

⇔(1/2)(y^2)=-(1/2)(x^2)+C⇔(x^2)+(y^2)=2C

Om vi sätter konstanten (r^2)=2C får vi en välkänd ekvation:

(x^2)+(y^2)=(r^2)

En cirkel.

Mathematica

ClearAll["`*"]

kurva=∫y\[DifferentialD]y==-∫x\[DifferentialD]x+c//Simplify

Exempel 2

Lös ekvationen

((dy)/(dx))=-x y

Lösning

Ekvationen separeras och integreras enligt

((dy)/(dx))=-x y⇔((dy)/y)=-x dx=>∫((dy)/y)=-∫x dx

⇔ln(y)=-(1/2)(x^2)+C⇔y=(e^(-(1/2)(x^2)+C))⇔y=(Subscript[y, 0])(e^(-(1/2)(x^2)))

Mathematica

ClearAll["`*"]

kurva=∫(1/y)\[DifferentialD]y==-∫x\[DifferentialD]x+c//Simplify

Exempel 3

Antag att vi kan experimentera med en helt öde ö. Vi inför en djurart, t.ex. kanin. Låt antalet kaniner vara x(t). Ökningen av antalet kaniner antas vara proportionell mot antalet kaniner.

((dx)/(dt))=k x

Tillväxten på föda är dock begränsad. Antag att ön kan ge föda kontinuerligt åt max m kaniner. En modell är då att låta tillväxten närma sig 0 då antalet närmar sig m. Den enklaste modellen här är en rät linje.

k (1-(x/m))

Den sammantagna modellen för antalet kaniner på ön blir då

((dx)/(dt))=k x (1-(x/m))

Bestäm nu x(t).

Lösning

Ekvationen separeras och integreras enligt

((dx)/(dt))=k x (1-(x/m))⇔((dx)/(x (1-(x/m))))=k dt=>∫((dx)/(x (1-(x/m))))=∫k dt

Vi delar upp vänsterledet i partialbråk

(1/(x (1-(x/m))))=((1+0·x)/(x (1-(x/m))))=(A/x)+(B/(1-(x/m)))=((A (1-(x/m))+B x)/(x (1-(x/m))))=((A+x (B-(A/m)))/(x (1-(x/m))))

Jämförelse ger:

({{{, ({{A=1}, {B-(A/m)=0}})}})⇔({{{, ({{A=1}, {B=(1/m)}})}})

∴∫(1/x)dx+∫((1/m)/(1-x/m))dx=∫k dt⇔∫(1/x)dx+∫(1/(m-x))dx=∫k dt

⇔ln(x)-ln(m-x)=k t+C

⇔ln((x/(m-x)))=k t+C⇔ln((1/((m/x)-1)))=k t+C⇔ln((m/x)-1)=-k t-C

⇔(m/x)-1=(e^(-k t-C))⇔x=(m/(1+(e^(-k t-C))))

Om vi sätter x(0)=(Subscript[x, 0]) kan vi bestämma C.

(Subscript[x, 0])=(m/(1+(e^(-C))))⇔1+(e^(-C))=(m/(Subscript[x, 0]))⇔C=-ln((m/(Subscript[x, 0]))-1)

Lösningen kan därmed skrivas:

x(t)=(m/(1+((m/(Subscript[x, 0]))-1)(e^(-k t))))=((m (Subscript[x, 0]))/((Subscript[x, 0])+(m-(Subscript[x, 0]))(e^(-k t))))

Mathematica

ClearAll["`*"]

kurva=∫(1/(x (1-(x/m))))\[DifferentialD]x==∫k \[DifferentialD]t+c//Simplify

{x[t_]}=x/.Solve[kurva,x]//FullSimplify

{c}=c/.Solve[x[0]==x0,c]

x[t]//Simplify

Exempel: Låt oss införa (Subscript[x, 0])=500,m=(10^4) och tillväxt 2% per tidsenhet.

m=(10^4);x0=500;k=2/100;

Plot[x[t],{t,0,500}]

Vi kan se att efter ca 200 tidsenheter börjar öns begränsade resurser att påverka tillväxten märkbart.

k (1-((x[200])/m))//N

Tillväxten är då endast 0.5%. Vid 300 tidsenheter har tillväxten nästan helt avstannat:

k (1-((x[300])/m))//N