IX1303 Algebra och geometri HT2012
Skärning mellan plan och linjer
Jan-Olof Åkerlund

Detta dokument tar upp några metoder för att bestämma skärningen mellan plan och linjer

Skärning mellan två linjer ((R^2))

Två linjer på ALLMÄN form

Linjerna  beskrivs av varsin ekvation av typen:
	a x+b y=A
som tillsammans ger ett ekvationssystem, t.ex.
 	2 x+3 y=7  
	5x-4y=9
Skärningspunkten ges då av lösningen till ekvationssystemet (som är enkelt att lösa för hand)

Mathematica

I Mathematica kan det se ut så här

Solve[{2x+3y==7,5x-4y==9}]

Eller...

... med en förfinad kod som tilldelar värdena till variablerna p1 och p2.

{{p1,p2}}={x,y}/.Solve[{2x+3y==7,5x-4y==9}];

{p1,p2}

Två linjer på PARAMETER-form

Linjerna  beskrivs av varsin ekvation av typen:
	x=p+t v
som tillsammans ger ett ekvationssystem, t.ex
	(Subscript[x, 1])=(2,1)+t (1,3)
	(Subscript[x, 2])=(1,4)+s (4,1)
där de obekanta är parametrarna t och s.
Skärningen mellan linjerna är en punkt som ligger på båda linjerna

???

(Hur många sådana punkter kan det finnas?)

Lösning

(Subscript[x, 1])=(Subscript[x, 2]) => 
	(2,1)+t (1,3)= (1,4)+s (4,1)

Mathematica

Reduce

Reduce[{2,1}+t {1,3}== {1,4}+s {4,1}]

Solve

Solve[{2,1}+t {1,3}== {1,4}+s {4,1}]

Skärning mellan två plan ((R^3))

Två plan på NORMAL-form

plan1ekv={1,-3,4}.{x1,x2,x3}==0;
plan2ekv={3,-5,0}.{x1,x2,x3}==0;

?

Hur ser planen ut

??

Hur kan skärningen se ut?

Lösning

Solve[{plan1ekv,plan2ekv}]

???

Hur ska vi tolka lösningen?

Ett exempel till

Vad är skärningen  mellan 
	   2 x-y+3z=0  
och 
	-6 x +3y-9z=0 ?

Skärning mellan tre plan ((R^3))

Tre plan på NORMAL-form

plan1ekv={1,-3,4}.{x1,x2,x3}==0;
plan2ekv={3,-5,0}.{x1,x2,x3}==0;
plan3ekv={9,1,-5}.{x1,x2,x3}==0;

Vad blir lösningen?

Lösning i Mathematica

{skärning}={x1,x2,x3}/.Solve[{plan1ekv,plan2ekv,plan3ekv}];
skärning

Tre plan till

plan4ekv={1,-3,4}.{x1,x2,x3}==1//TraditionalForm
plan5ekv={3,-5,0}.{x1,x2,x3}==4//TraditionalForm
plan6ekv={9,1,-5}.{x1,x2,x3}==13//TraditionalForm

Vad är skillnaden?
Hur kan lösningarna se ut?

Lösning

plan4ekv={1,-3,4}.{x1,x2,x3}==1;
plan5ekv={3,-5,0}.{x1,x2,x3}==4;
plan6ekv={9,1,-5}.{x1,x2,x3}==13;
{skärning2}={x1,x2,x3}/.Solve[{plan4ekv,plan5ekv,plan6ekv}];
skärning2