En ortogonal projektion på ett underrum

Ett underrum

Underrummet är givet:
	W=Span {a}

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;
wvekt=Graphics[
{
{Thickness[.01],Pink,Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},{Thickness[.005],Arrowheads[.1],Arrow[{p1,p2}]},Text[Style[W,Large],p2+{.6,+.4}],
Text[Style[a,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.6,+.4}]
}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None]

Hur vet vi att det är ett underrum?

Vilken dimension har
	Rummet?
	Underrummet?

Vektorn (OverBar[v]) projiceras ortogonalt på W

({{v+(Subscript[x, 2])=(Subscript[x, 1])}, {}})

Projektionen

(Subscript[X, 1])= ((v· a)/(a· a))·a

Exempel

v={3,1};
a={2,3};
proj=((v.a)/(a.a))a

Projektionen blir

(8/13)(2,3)

Projektion med transformationsmatris

Lay 6.1 formel (22).

(({{(cos^2)(θ), cos(θ) sin(θ)}, {cos(θ) sin(θ), (sin^2)(θ)}}))

formel22=
{{(costheta^2),sintheta costheta},
{sintheta costheta,(sintheta^2)}};

Vad är theta?

Vinkeln mellan x-axeln och a
Vi bestämmer sin och cos som behövs i matrisen

Formel

a·b=||a||·||b|| cos ϕ ⇔ cos ϕ=((a·b)/(||a||·||b||))

Beräkning

ex={1,0};
aa={2,3}

costheta = ex.aa/(Norm[ex]Norm[aa])
sintheta=(Sqrt[1-(costheta^2)])

formel22.{{3},{1}}

I (R^3)

Även här fungerar formeln för projektion på ett underrum  W=Span v
(Vad har underrummet för dimension?)

Exempel

v={2,1,1};
b={b1,b2,b3};

Projektion av b på v.

bproj=((v.b)/(v.v))v

Med matris

av={{2},{1},{1}};
avT=Transpose[av];
{{nämn}}=avT.av;
trma=av.avT/nämn;
MatrixForm[%]

Transformationen

matproj=trma.b

Stämmer det?

Får vi samma resultat?

matproj==bproj//Expand

Generalisering

Ortogonal projektion på ett generellt underrum

Vi utgår från en matris M, där
 
Kolonnerna i M är någon bas för underrummet W.

Vi får då:

	T(x)=((M((M^T)M))^(-1)) x
där
	P=((M((M^T)M))^(-1))  

är standardmatrisen för en ortogonal projektion på underrummet W.