IX1300 Introduktion i matematik		Lektion 19 november 2012	
Jan-Olof Åkerlund			           ICT-skolan, KTH

Potens-, 
exponential- 
och logaritmfunktioner

Potensfunktioner

Funktionen y=(x^a)

Vi plottar funktionen för olika värden på a:
0≤a≤5 med en steglängd på 0.1

Manipulate[Plot[(x^a),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(x^a)}],{a,0,5,.1}]

?

Varför blir det ingen kurva för x<0 ?

N[{(((-2))^(-2)),(((-2))^(-2.2))}]

Funktionen y=(x^a)  om a är positiva heltal

Startvärde på a?

Plot[(x^0),{x,-5,5},PlotRange->{-2,5},AxesLabel->{x,(x^a)}]

Olika a-värden?

Manipulate[Plot[(x^a),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(x^a)}],{a,0,10,1}]

Exponentialfunktioner

Funktionen y=(a^x)

Om a>0 och x är ett reelt tal är den reella funktionen  y=(a^x) definierad

Hur ser den ut för olika a?

a ≤ 1

Manipulate[Plot[(a^x),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(a^x)}],{{a,1},0.01,1}]

a> 1

Manipulate[Plot[(n^x),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,(n^x)}],{n,1,10}]

(a^x) och (((1/a))^x)

Manipulate[Plot[{(n^x),(((1/n))^x)},{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x,{(n^x),(((1/n))^x)}}],{n,2,10,1}]

Ränta på ränta

1000 kr, årlig ränta 5 %

Kapital efter ett år:
	1000 (1+0.05) = 1000· 1.05

Kapital efter två  år:
	1000 (1+0.05) (1+0.05)= 1000· (1.05^2)
	
Kapital efter k  år:
	1000 · (1.05^n)

I Mathematica

Tabell (Kapitalisering varje år)

kapital=Table[1000  (1.05^k),{k,0,10}]

Plott

plot1=ListPlot[kapital,Filling->Axis,PlotRange->{0,2000}]

plot2=ListPlot[kapital,Filling->Axis,PlotRange->{0,2000},FillingStyle->Thick]

Varför ritar vi inte en kurva?

kurv1=Plot[1000  (1.05^k),{k,0,10}];
Show[plot2,kurv1]

Vi kan åskådliggöra i ett stapeldiagram

barkapital=BarChart[kapital]

Kapitalisering varje månad (12 gånger per år)

En tolftedel av räntan läggs till varje månad

1000(((1+(0.05/12)))^12)

Kapital efter k år

kapitalmånad=Table[1000(((1+(0.05/12)))^(12 k)),{k,0,10}]

Jämför modellerna

Grid[Transpose[{kapital,kapitalmånad}],Frame->All]

Gränsvärden

Kapitalisering n gånger per år

Tabeller för olika värden på n

1000(((1+(0.05/n)))^n)

Table[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,12}]

Table[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,101,10}]

Låt oss plotta funktionen

Plot[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,100}]

Mindre intervall i y-led

Plot[(((1+(0.05/n)))^n),{n,1,100},PlotRange->{1.05,1.06}]

Ett gränsvärde

Limit[(((1+(0.05/n)))^n),n->Infinity]

Ett annat gränsvärde

Låt oss studera (((1+(1/t)))^t) då t växer

t-> 100

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,10,100,10}]//N

t-> 1000

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,100,1000,100}]//N

t-> 10 000

Table[(((1+(1/t)))^t),{t,1000,10000,1000}]//N

t-> ∞

Limit[(((1+(1/t)))^t),t->∞]

Talet e

N[E,20]

Två räntemodeller

Kapitalisering årligen och kontinuerlig kapitalisering

Plot[{(((1.05))^n),(E^((0.05)n)) },{n,1,100}]

Vad blir skillnaden?

Plot[{(E^((0.05)n))-(((1.05))^n) },{n,1,10}]

Exponentialfunktionen (e^(a x))

e?

e
E
N[%]

(e^(a x))

Manipulate[Plot[(E^(a x)),{x,-5,5},PlotRange->{-10,10},AxesLabel->{x, ((e )^(a x))}],{{a,1},-5,5,0.1}]

(e^(a x)), derivata och primitiv funktion

Derivata

D[(E^x),x]

D[(E^x),x]==(E^x)

Primitiv funktion

Integrate[(E^x),x]

Arean under kurvan (e^x)

exparea=Integrate[(E^x),{x,0,x}]

En plot

Plot[{(E^x),exparea},{x,0,4}]

Arean för  0<x<4

Integrate[(E^x),{x,0,4}]

Arean mellan två exponentialkurvor

Plot[{(E^x),(E^(-x))},{x,0,4}]

Integrate[(E^x)-(E^(-x)),{x,0,x}]

Lite om ln x

Plot[{Log[x],1,2,3},{x,-3,(E^3)},AspectRatio->1/2,PlotRange->{0,4},Ticks->{{0,E,(E^2),(E^3)}}, AxesLabel->{x,y},PlotLabel->" ln x"]

Plot[{(E^x),Log[x]},{x,-3,5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-3,5},AxesLabel->{x,"(e^x) och ln x"}]

Plot[{(E^x),Log[x],x},{x,-3,5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-3,5},AxesLabel->{x,"(e^x) och ln x"},PlotStyle->{Thick,Thick,Thin}]

Plot[{(E^x),Log[x],x,1-x,3-x,-1-x},{x,-3,5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-3,5},Axes->False,Frame->True,PlotStyle->{Thick,Thick,Thin,Thin,Thin,Thin},PlotLabel->" symmetriska kring y=x

"]

Plot[{1/x,Log[x]},{x,0,5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-3,5},AxesLabel->{x,"1/x och ln x"},PlotStyle->{Thin,Thick}]

Derivata

D[Log[x],x]

Integrate[1/x,x]

Exponentialfunktioner, Plottar

Plot[(E^x),{x,0,10}]

LogPlot[(E^x),{x,0,10}]

LogPlot[{(E^x),(E^(2x)),(E^(3x))},{x,0,10}]

Exponentialfunktion och potensfunktion

Två potensfunktioner. Vilken är störst?

Plot[{x,(x^6)},{x,-2,2}]

Vi lägger till en exponentialfunktion. Vilken är störst?

Plot[{(E^x),x,(x^6)},{x,-2,2},PlotStyle->{Thick,Black,Red}]

När är Exponentialfunktionen störst?

Plot[{(E^x),x,(x^6)},{x,0,25},PlotStyle->{Thick,Black,Red}]

Vilken är störst

Studera kvoten

Plot[{1,(E^x)/(x^100)},{x,600,700},PlotRange->{0,5}]

Logaritmisk plot

LogPlot[{(E^x),(x^100)},{x,600,700}]

Skärningspunkt

Solve[(E^x)==(x^100),x]//N

När är funktionen definierad?

f(x) = (1/(Sqrt[1-ln(x-2)]))

?

Reduce[1-Log[x-2]>0,x]

Hur ser den ut?

Plot[(1/(Sqrt[1-Log[x-2]])),{x,1,6}]

Plot[Log[x],{x,0,2}]

Plot[1-Log[x-2],{x,2,5}]

Solve[Log[x-2]==1,x]

NSolve[Log[x-2]==1,x]

E+2//N