Ortogonala vektorer

När vi nu har bestämt projektionen på underrummet kan vi också hitta två ortogonala vektorer

({{(Subscript[x, 2])=(Subscript[x, 1])-v}, {}})

Projektion i (R^3)

Metoden vi använde i (R^2) fungerar även i (R^3)

(Subscript[X, 1])= ((v· a)/(a· a))·a

Vi kan projicera en vektor på ett underrum som spänns upp av en annan vektor.

Hur ser det underrummet ut?

Underrummet är en linje genom orogo

Exempel

Vi vill projicera vektorn
 	(4,-2,6) 

på det underrum som spänns upp av 
	a=(-2,3,5)

vektorV={4,-2,6}; vektorA={-2,3,5};
v1=Graphics3D[{Red,Arrow[{{0,0,0},vektorV}]}];
v2=Graphics3D[{Thick,Arrow[{{0,0,0},vektorA}]}];
Show[v1,v2,Axes->True,AxesOrigin->{0,0,0},AxesLabel->{"x","y","z"}]

Med vår funktion

(Subscript[X, 1])= ((v· a)/(a· a))·a

ProjPåSpanA[vectv_,vecta_]:=vectv.vecta/vecta.vecta vecta

proj=ProjPåSpanA[{4,-2,6},{-2,3,5}]

Figur

normal=Cross[vektorP,vektorPvink]
planetplot=ContourPlot3D[normal.{x,y,z}==0,{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},Mesh->None];
vektorP=proj;
vektorPvink=proj-vektorV;
v3=Graphics3D[{Red,Arrow[{{0,0,0},vektorP}]}];
v4=Graphics3D[{Arrow[{{0,0,0},vektorPvink}]}];
v5=Graphics3D[{Arrow[{vektorV,vektorV+vektorPvink}]}];
Show[v1,v2,v3,v4,v5,planetplot,Axes->True,AxesOrigin->{0,0,0},AxesLabel->{"x","y","z"},ViewPoint->19normal]

Alla tre vektorerna ligger i samma plan.
Vilket plan är det?

Bestäm planet

Med kryssprodukten

Kryssprodukten  a × b ger en vektor som är ortogonal mot a och b

Cross[{4,-2,6},{-2,3,5}]

Med skalärprodukter

Normalen  n är ortogonal mot a och b

Det ger att n ·a=0 och n·b=0

Vi har alltså två ekvationer som kan ge oss normalen

Transformationsmatris

Vi kan också utföra transformationen med en transformationsmatris.

Varför då?

Det är en linjär transformation