Ett linjärt system

Systemet skrivet som ett system med tre ekvationer

TraditionalForm[HoldForm[Grid[{
{x1+x2+2x3=b1},
{x1+           x3=b2},
{2x1+x2+3x3=b3}
}]]]

Systemet skrivet som en linjärkombination av kolonnvektorer

TraditionalForm[HoldForm[x1(({{1}, {1}, {2}}))+x2(({{1}, {0}, {1}}))+x3(({{2}, {1}, {3}}))=(({{b1}, {b2}, {b3}}))]]

Totalmatris

Systemet beskrivet av en totalmatris

totalmatris1={
{1,1,2,b1},
{1,0,1,b2},
{2,1,3,b3}
};
MatrixForm[totalmatris1]

Genom att reducera matrisen kan vi studera lösningarna till systemet

Ett linjärt system (2): Reducerad matris

När vi reducerat har vi fått denna totalmatris

reduceradmatris1={
{1,1,2,b1},
{0,1,1,b1-b2},
{0,0,0,b3-b2-b1}
};
MatrixForm[reduceradmatris1]

Hur ser b=(({{b1}, {b2}, {b3}})) ut?

b?

Sista raden ger oss sambandet 
	b3-b2-b1 =0
och
	b3=b2+b1 
vilket ger

b=b1 (({{1}, {0}, {1}}))+b2 (({{0}, {1}, {1}}))

Ett linjärt system (3): Motsvarande koefficientmatris

matris1={
{1,1,2},
{1,0,1},
{2,1,3}
};
MatrixForm[matris1]

Reducerad koefficientmatris

matris1={
{1,1,2},
{1,0,1},
{2,1,3}
};
MatrixForm[RowReduce[matris1]]

De första två raderna

(({{1, 0, 1}, {0, 1, 1}, {0, 0, 0}}))

Samma vektorer som ingår i b. 

	b=b1 (({{1}, {0}, {1}}))+b2 (({{0}, {1}, {1}}))

Ett linjärt system (4): Pivotpositionerna

Pivotpositionerna är markerade med rött

	(({{1, 0, 1}, {0, 1, 1}, {0, 0, 0}}))


Pivotpositionerna pekar ut två linjärt oberoende kolonner i det ursprungliga systemet

	x1 (({{1}, {1}, {2}}))+x2 (({{1}, {0}, {1}}))+x3 (({{2}, {1}, {3}}))=(({{b1}, {b2}, {b3}}))

OBS!

(({{1}, {1}, {2}}))+ (({{1}, {0}, {1}}))= (({{2}, {1}, {3}}))  ⇔  (({{1}, {1}, {2}}))+ (({{1}, {0}, {1}}))- (({{2}, {1}, {3}})) =0 ; Linjärt beroende!

Ett annat exempel: En bas?

(Subscript[V, 1])=(1,2,1);   (Subscript[V, 2])=(1,-1,3);     (Subscript[V, 3])=(1,1,4);

Bildar vektorerna en bas för (R^3)?

Krav: 
	1. EXAKT 3 stycken 
	
	2. Linjärt oberoende.

Linjärt oberoende,

DVS. har den homogena ekvationen 
	(Subscript[c, 1])(Subscript[v, 1])+(Subscript[c, 2])(Subscript[v, 2])+(Subscript[c, 3])(Subscript[v, 3])=0
endast en trivial lösning?

DVS kan totalmatrisen reduceras så den har tre pivot-kolonner?

TraditionalForm[MatrixForm[Transpose[{{1,2,1},{1,-1,3},{1,1,4},{0,0,0}}]]]

Jag låter Mathematica reducera

RowReduce[Transpose[{{1,2,1},{1,-1,3},{1,1,4},{0,0,0}}]]//MatrixForm

...fortsättning

En annan fråga

Kan koefficientmatrisen reduceras till en enhetsmatris?
	(({{1, 1, 1}, {2, -1, 1}, {1, 3, 4}}))

Svar ?

JA.
1. Vi såg det när vi reducerade totalmatrisen
2. Vi fick tre pivotkolonner 
3. Vektorerna var linjärt oberoende

Ännu en fråga

Kan vi hitta någon mer bas för samma vektorrum?

Svar ?

Eftersom vektorerna är en bas för (R^3) så kan vi hitta oändligt många  baser

	Alla kombinationer av 
		exakt 3 linjärt oberoende vektorer 
		i (R^3) 
	kan utgöra en bas för (R^3)

Samma exempel, en annan väg

Vi låter vektorerna bilda rader i matrisen och reducerar ett steg i taget

Den givna matrisen

m1={{1,2,1},{1,-1,3},{1,1,4}};
m1//MatrixForm

Reducerad ett steg

m1[[2]]=m1[[2]]-m1[[1]];
m1//MatrixForm

radvektorerna spänner fortfarande upp samma vektorrum

Reducerad ett steg till

m1[[3]]=m1[[3]]-m1[[1]];
m1//MatrixForm

radvektorerna spänner fortfarande upp samma vektorrum

Reducerad så långt det går

RowReduce[{{1,2,1},{1,-1,3},{1,1,4}}]//MatrixForm

radvektorerna spänner fortfarande upp samma vektorrum

En bas för ett underrum

En bas består av linjärt oberoende vektorer
	
Exakt så många som behövs
	
Om de är för många är de linjärt beroende
Om de är för få spänner de inte upp rummet

Hur kan vi undersöka om det är en bas?

Underrum i (R^2)

Vilka underrum är möjliga i (R^2)?

1. Span(v) som innehåller 0
	Dvs linje genom origo
	
	2. (R^2) 
	
	3. 0  (nollvektorn)

Vi ska intressera oss för nummer 1: 
	Linje genom origo

Ortogonal projektion på underrum i (R^2)

Ett underrum i (R^2)
Underrummet W utgörs av en linje genom origo

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;
wvekt=Graphics[
{
{Thickness[.01],Pink,Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},Text[Style[W,Large,Bold],p2+{.7,+.4}],
Text[Style[Ett underrum W,Large],{2.7,1.5}]
}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,4},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

En bas för underrummet?

En vektor i underrummet

Underrummet spänns upp av vektorn a

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;
wvekt=Graphics[
{
{Thickness[.01],Pink,Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},{Thickness[.005],Arrowheads[.1],Arrow[{p1,p2}]},Text[Style[W,Large],p2+{.6,+.4}],
Text[Style[a,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.6,+.4}],
Text[Style["En vektor a",Large],{2.7,1.5}]
}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

Vi kan också säga att W= span {a}.

Vi vill projicera vektorn (OverBar[v]) på underrummet

Vektorn v är en godtycklig vektor i (R^2)

Nu vill vi projicera (avbilda) vektorn v på underrummet W.
Det gör vi genom att projicera den på vektorn a som spänner upp underrummet.

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;p3={3,1};
wvekt=Graphics[{
{Thickness[.01],Pink,Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p2}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p3}]},
Text[Style[a,3,FontSize->24,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.4,+.2}],
Text[Style[v,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p3+{0,+.4}]

}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

En ortogonal projektion på underrummet

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;p3={3,1};
wvekt=Graphics[{
{Thickness[.001],Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p2}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p3}]},
{Thickness[.005],Red,Line[{p3,vny}]},
Text[Style[a,3,FontSize->24,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.4,+.2}],
Text[Style[v,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p3+{0,+.4}]

}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

...

så att vi får vektorn (Subscript[x, 1])

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;p3={3,1};
wvekt=Graphics[{
{Thickness[.001],Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p2}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p3}]},
{Thickness[.005],Line[{p3,vny}]},
{Thickness[.005],Red,Arrowheads[.05],Arrow[{p1,vny}]},
Text[Style[a,3,FontSize->24,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.4,+.2}],
Text[Style[(Subscript[x, 1]),3,FontSize->24,Bold,Red,FontFamily->"Arial"],vny-{.6,+.4}],
Text[Style[v,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p3+{0,+.4}]

}
];
Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

Men vi behöver också vektorn (Subscript[v, 2])

p1={0,0};p2={2,3};w=p2-p1;p3={3,1};
wvekt=Graphics[{
{Thickness[.001],Line[{-p2 1.5,p2 1.5}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p2}]},
{Thickness[.005],Arrowheads[.03],Arrow[{p1,p3}]},
{Thickness[.005],Red,Arrowheads[.05],Arrow[{p1,vny}]},
{Thickness[.005],Red,Arrowheads[.05],Arrow[{p3,vny}]},
Text[Style[(Subscript[x, 1]),3,FontSize->24,Bold,Red,FontFamily->"Arial"],vny-{.6,+.4}],
Text[Style[(Subscript[x, 2]),3,FontSize->24,Bold,Red,FontFamily->"Arial"],vny+{.9,-.1}],
Text[Style[a,3,FontSize->24,Bold,FontFamily->"Arial"],p2-{.4,+.1}],
Text[Style[v,3,FontSize->32,Bold,FontFamily->"Arial"],p3+{-.7,-.5}]

}
];
figur=Show[wvekt,Axes->True, PlotRange->{{-1,5},{-1,4}},Ticks->None,AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Large]]

Dags för en härledning

Bestäm (Subscript[x, 1]) om v och a är kända
Projektionen av v på underrummet Span {a}

({{v+(Subscript[x, 2])=(Subscript[x, 1])}, {}})

Observera

(Subscript[X, 1]) och (Subscript[x, 2]) är ortogonala.
(Subscript[X, 1]) är parallell med a.

Vad innebär det?

(Subscript[X, 1])· (Subscript[x, 2])=0 
 a· (Subscript[x, 2])=0 
(Subscript[X, 1])=k a

Vi vill projicera vektorn (OverBar[v]) på underrummet span{a}

(Subscript[X, 1])= ((v· a)/(a· a))·a

Antag v=(1,2);  a=(4,5)

Beräkning

kvot=(({1,2}.{4,5})/({4,5}.{4,5}))

Funktion

ProjPåSpanA[vectv_,vecta_]:=vectv.vecta/vecta.vecta vecta

proj=ProjPåSpanA[{1,2},{4,5}]

Ortogonala vektorer

När vi nu har bestämt projektionen på underrummet kan vi också hitta två ortogonala vektorer

({{(Subscript[x, 2])=(Subscript[x, 1])-v}, {}})

Projektion i (R^3)

Metoden vi använde i (R^2) fungerar även i (R^3)

(Subscript[X, 1])= ((v· a)/(a· a))·a

Vi kan projicera en vektor på ett underrum som spänns upp av en annan vektor.

Hur ser det underrummet ut?

Underrummet är en linje genom orogo

Exempel

Vi vill projicera vektorn
 	(4,-2,6) 

på det underrum som spänns upp av 
	a=(-2,3,5)

vektorV={4,-2,6}; vektorA={-2,3,5};
v1=Graphics3D[{Red,Arrow[{{0,0,0},vektorV}]}];
v2=Graphics3D[{Thick,Arrow[{{0,0,0},vektorA}]}];
Show[v1,v2,Axes->True,AxesOrigin->{0,0,0},AxesLabel->{"x","y","z"}]

Med vår funktion

ProjPåSpanA[vectv_,vecta_]:=vectv.vecta/vecta.vecta vecta

proj=ProjPåSpanA[{4,-2,6},{-2,3,5}]

Figur

normal=Cross[vektorP,vektorPvink]
planetplot=ContourPlot3D[normal.{x,y,z}==0,{x,-5,5},{y,-5,5},{z,-5,5},Mesh->None];
vektorP=proj;
vektorPvink=proj-vektorV;
v3=Graphics3D[{Red,Arrow[{{0,0,0},vektorP}]}];
v4=Graphics3D[{Arrow[{{0,0,0},vektorPvink}]}];
v5=Graphics3D[{Arrow[{vektorV,vektorV+vektorPvink}]}];
Show[v1,v2,v3,v4,v5,planetplot,Axes->True,AxesOrigin->{0,0,0},AxesLabel->{"x","y","z"},ViewPoint->19normal]

Alla tre vektorerna ligger i samma plan.
Vilket plan är det?

Bestäm planet

Med kryssprodukten

Kryssprodukten  a × b ger en vektor som är ortogonal mot a och b

Cross[{4,-2,6},{-2,3,5}]

Med skalärprodukter

Normalen  n är ortogonal mot a och b

Det ger att n ·a=0 och n·b=0

Vi har alltså två ekvationer som kan ge oss normalen

Transformationsmatris

Vi kan också utföra transformationen med en transformationsmatris.

Varför då?

Det är en linjär transformation

Transformationsmatris?

aat={{4,-6,-10},{-6,9,15},{-10,15,25}};
aat//MatrixForm
ata=((Norm[{-2,3,5}])^2)

tramatris=aat/ata;
tramatris//MatrixForm

Vår projektion

projektion=Flatten[tramatris.Transpose[{{4,-2,6}}]]

19 projektion/8

? Hur avbildas....

Hur kommer enhetsvektorerna att projiceras på underrummet?