HF1008 Analys och linjär algebra 10,0 hp

Linjär algebra.

• Komplexa tal: Det komplexa talplanet; absolutbelopp och argument; polär, rektangulär och exponentiell form; Eulers och de Moivres formler; binomiska ekvationer;
• Algebraiska ekvationer, faktorsatsen, polynomdivision.
• Linjära ekvationssystem. Gaussmetoden.

• Punkter och koordinater i 3D-rum.
• Vektorer. Längden av en vektor, nollvektor, enhetsvektor. Räkneoperationer för vektorer. Linjära kombinationer. Linjärt beroende.
• Skalärprodukt och vinkelberäkningar. Projektioner.
• Determinanter. Utveckling av determinant längs rad eller kolonn.
• Vektorprodukt.
• Skalär trippelprodukt. Volymen av en parallellepiped. Volymen av en pyramid.
• Avståndsberäkningar. Avstånd från en punkt till en rät linje.

            Avstånd från en punkt till ett plan. Avstånd mellan två linjer i rummet.

• Area- och volymberäkningar.
• Plan i rummet.
• Linjer i planet och rummet.

• Matriser. Grundläggande definitioner.
•  Multiplikation av en matris med ett tal. Addition av två matriser. Multiplikation av två matriser. Transponering av matriser. Räknelagar för matriser.
•  Diagonalmatriser och enhetsmatriser. Inversa matriser.
• Matrisekvationer.
• Egenvärde och egenvektorer.

Analys

• Olikheter, öppna och slutna intervall.
• Absolutbelopp.
• Funktionsbegreppet. Definitionsmängd och värdemängd.
• Elementära funktioner. Sammansatta och inversa funktioner.
• Gränsvärde, kontinuitet.
• Derivator och differentialer. Produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln. Implicitderivering. Logaritmisk derivering. Derivering av inversa funktioner. Tangenter till kurvor givna på parameterform.
• Derivator av högre ordning.

    Tillämpningar av derivator:

• Växande och avtagande funktioner.   Extremvärdesproblem. Stationära (kritiska) punkter, singulära punkter, ändpunkter.  Lokal extrempunkt, terrasspunkt, lokal minimi- och maximipunkt.

• Konvexa och konkava funktioner. Inflexionspunkter.
• L' Hospitals regel.
• Lodräta, vågräta och sneda asymptoter.
• Skissering av funktionskurvor.

Integraler:

• Primitiva funktioner.
• Bestämda integraler. Definition och grundläggande räknelagar.
• Integralkalkylens huvudsats.
• Variabelsubstitution.
• Partiell integration.

• Partialbråksuppdelning.
• Integration av rationella funktioner.

• Generaliserade integraler.
• Integraltillämpningar. Areor, båglängder rotationsvolymer.

Differentialekvationer:

• Separabla differentialekvationer;
• linjära differentialekvationer av första ordningen med såväl konstanta som icke-konstanta koefficienter.
• Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter och olika typer av högerled.
• Tillämpningar av differentialekvationer.

Efter fullgjord kurs skall studenten kunna:                                

• Räkna med komplexa tal
• Lösa vissa algebraiska ekvationer och olikheter
• Lösa och geometriskt tolka linjära ekvationssystem
• Definiera och tolka grundbegreppen: vektor, skalärprodukt, kryssprodukt, trippelprodukt, rät linje och plan
• Definiera och tolka grundbegreppen determinant och matris
• Använda matriser och determinanter som räknehjälpmedel
• Använda vektoralgebrans skalärprodukt, kryssprodukt och trippelprodukt till att beräkna projektioner, avstånd, area och volymer
• Bestämma inverser till elementära och sammansatta funktioner
• Bestämma definitions- och värdemängder
• Definiera och tolka grundbegreppen gränsvärde, kontinuitet, derivata och integral
• Beräkna gränsvärden, derivator och integraler
• Bestämma eventuella asymptoter och extremvärden till en funktion
• Analysera funktioner med hjälp av gränsvärden och derivator samt rita funktionskurvan
• Använda derivator och integraler i tillämpningar
• Beräkna generaliserade integraler
• Lösa första ordningens differentialekvationer med såväl konstanta som icke-konstanta koefficienter
• Lösa högre ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter och olika typer av högerled
• Ställa upp och lösa enklare matematiska modeller för tillämpade förlopp som kan beskrivas med hjälp av linjära differentialekvationer.
• Använda programvara (Maple, Mathematica eller Matlab) för att lösa matematiska uppgifter.

ENGINEERING MATHEMATICS , fourth (4TH) edition, Anthony Croft , R.Davison, M.Hargreaves , J. Flint, ISBN 9780273719779

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

• LAB1 - Laborationer, 2,0 hp, betygsskala: P, F
• TEN1 - Tentamen, 4,0 hp, betygsskala: A, B, C, D, E, FX, F
• TEN2 - Tentamen, 4,0 hp, betygsskala: A, B, C, D, E, FX, F

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

TENTAMINA:

(TEN1, 4 hp,  linjär algebra,  skriftlig tentamen), betygsskala : A/B/C/D/E/Fx/F

(TEN2, 4 hp, analys, skriftlig tentamen), betygsskala: A/B/C/D/E/Fx/F

Hjälpmedel vid tentamen: Godkänt formelblad.

Miniräknare ej tillåten.

LABORATIONER:

Moment: LAB1; 2 hp, betygsskala P/F

Ett av följande program används i labbdelen: Maple, Mathematica eller Matlab.

Slutbetyg grundas på samtliga moment, betygsskala A-F.

Armin Halilovic

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.