SF1625 Envariabelanalys 7,5 hp

Calculus in One Variable

Envariabelanalys är en grundläggande kurs i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. De viktigaste ingående begreppen är derivata och integral, som används i en mängd ingenjörstillämpningar.

  • Utbildningsnivå

    Grundnivå
  • Huvudområde

    Matematik
    Teknik
  • Betygsskala

    A, B, C, D, E, FX, F

Kurstillfällen/kursomgångar

VT19 CDATE1 m.fl. för programstuderande

VT19 CINTE1 för programstuderande

HT19 CMEDT1 för programstuderande

HT19 CMETE1 m.fl. för programstuderande

HT19 CELTE1 m.fl. för programstuderande

HT19 CITEH1 för programstuderande

HT19 CMATD1 m.fl. för programstuderande

HT19 CBIOT1 m.fl. för programstuderande

HT19 CDEPR1 m.fl. för programstuderande

VT20 CDATE1 m.fl. för programstuderande

VT20 CINTE1 för programstuderande

HT18 CELTE1 m.fl. för programstuderande

HT18 CMETE1 m.fl. för programstuderande

HT18 CMATD1 m.fl. för programstuderande

HT18 CITEH1 för programstuderande

HT18 CBIOT1 m.fl. för programstuderande

HT18 CDEPR1 m.fl. för programstuderande

HT18 CMEDT1 för programstuderande

Lärandemål

Efter genomgången kurs ska studenten för godkänt betyg kunna:

  • Använda, förklara och tillämpa de viktigaste grundbegreppen och problemlösningsmetoderna från differential- och integralkalkyl i en variabel, särskilt:
    - Redogöra för de elementära funktionernas grundläggande egenskaper, såsom t ex potenslagar, logaritmlagar och trigonometriska formler, samt använda dessa i problemlösning och beräkningar
    - Beräkna derivator med hjälp av bl a produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln
    - Använda derivata för att undersöka en funktions egenskaper, t ex avgöra frågor om växande och avtagande, skissera funktionsgraf, bestämma tangent, bevisa olikheter och hitta extremvärden
    - Använda Taylors formel för att approximera funktioner med polynom till given noggrannhet
    - Redogöra för Riemann-integralens definition och tillämpningar, samt approximera integraler med Riemannsummor
    - Beräkna integraler med hjälp av primitiv funktion, partiell integration, variabelsubstitution och partialbråksuppdelning
    - Redogöra för analysens huvudsats om sambandet mellan derivata och integral, samt använda denna i problemlösning och beräkningar
    - Lösa vissa linjära ordinära differentialekvationer med konstanta koefficienter och redogöra för hur dessa uppkommer i tillämpningar
    - Beräkna gränsvärden och använda dessa för att studera funktioners beteende lokalt eller asymptotiskt
    - Avgöra om en given funktion är inverterbar och om möjligt beräkna inversen
    - Avgöra om vissa serier är konvergenta eller divergenta och om möjligt beräkna dem
  • Ställa upp enklare matematiska modeller för tillämpade förlopp som kan beskrivas med hjälp av funktioner av en variabel, samt diskutera sådana modellers relevans, rimlighet och noggrannhet
  • Läsa och tillgodogöra sig matematisk text om funktioner av en variabel och deras tillämpningar, samt kommunicera matematiska resonemang och beräkningar inom detta område muntligt och skriftligt på ett sådant sätt att de är lätta att följa.

För högre betyg ska studenten dessutom kunna:

  • Redogöra för envariabelanalysens teori, med definitioner, satser och bevis
  • Generalisera och anpassa metoderna så att de passar i delvis nya situationer
  • Lösa problem som kräver en kombination av metoder eller mer omfattande beräkningar i flera steg
  • Lösa mer avancerade problem om t ex gränsvärden, serier, integraler och tillämpningar

Kursens huvudsakliga innehåll

Funktion, funktionsgraf, definitionsmängd, värdemängd. Växande och avtagande funktioner, udda och jämna funktioner. Inversa funktioner. Klassen av elementära funktioner. Enhetscirkeln, trigonometriska formler och ekvationer, exponentialfunktioner och logaritmer, potenslagar, logaritmlagar. Gränsvärde, räkneregler för gränsvärden, standardgränsvärden. Kontinuitet, satser om kontinuerliga funktioner. Derivata, deriveringsregler och tillämpningar: förändringstakt, linjär approximation, tangent, extremvärdesproblem, kurvritning, olikheter mm. Taylors formel med feluppskattning. Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter och deras tillämpningar. Riemannintegralen, primitiv funktion, variabelsubstitution, partiell integration, partialbråksuppdelning. Riemannsummor, geometriska och andra tillämpningar av integraler, generaliserade integraler. Något om talföljder och serier. Något om numeriska metoder (t ex Newton-Raphsons metod).

Behörighet

Allmän och särskild behörighet för civilingenjörsprogram.

Obligatorisk för åk1, kan ej läsas av andra studenter

Litteratur

Robert A. Adams, Christopher Essex, Calculus - A Complete Course, 9th edition. ISBN 978-0-13-415436-7

Examination

  • TEN1 - Tentamen, 7,5, betygsskala: A, B, C, D, E, FX, F

Krav för slutbetyg

Skriftlig tentamen, eventuellt med möjlighet till kontinuerlig examination.

Ges av

SCI/Matematik

Examinator

Kristian Bjerklöv <bjerklov@kth.se>

Roy Skjelnes <skjelnes@kth.se>

Versionsinformation

Kursplan gäller från och med HT2018.
Examinationsinformation gäller från och med HT2007.