Hoppa till huvudinnehållet

FSF3633 Modulära former 7,5 hp

Kursen riktar sig till en allmän matematisk publik på doktorandnivå och bör vara tillgänglig och av intresse för doktorander från olika (t.ex. analytiska och algebraiska eller geometriska) riktningar. Modulära former är ett centralt och vackert ämne i talteori som visat sig vara ett kraftfullt verktyg med ett brett spektrum av tillämpningar. Teorin om modulära former i sig är mycket bred och kombinerar perspektiv från analytisk talteori, algebraisk geometri samt representationsteori. Det mest framträdande av de många tillämpningar är beviset för Fermats sista sats. Andra tillämpningar inkluderar t.ex. explicita konstruktioner av familjer av Ramanujan-grafer eller ett villkorslöst bevis för Linniks teorem om likafördelning av gitterpunkter på sfärer. Då modulära former är ett relativt brett område kan vi bara studera några av dess aspekter. Kursen startar ur klassisk synvinkel och syftar till att diskutera minst en tillämpning som Dukes arbete med Linniks problem angående fördelning av punkter { n^{-1/2}(x,y,z) | x,y,z ∈ ℤ, x²+y²+z² = n } på enhetsfären i ℝ³ där n→∞, eller asymptotiska frågor angående funktionen r_k(n) som räknar antalet av möjligheter att skriva n som summa av k heltalskvadrater.

Kursomgångar saknas för aktuella eller kommande terminer.
Rubriker med innehåll från kursplan FSF3633 (HT 2020–) är markerade med en asterisk ( )

Innehåll och lärandemål

Kursupplägg

Föreläsningar, hemuppgifter.

Kursinnehåll

Kursen är en introduktion till teorin om modulära former med utgångspunkt från en klassisk synvinkel. Den kommer att diskutera ämnen som den modulära gruppen, modulära funktioner, modulära former, Hecke-operatorer, Dirichlet-serier, Theta-funktioner, L-funktioner. Möjliga ytterligare ämnen är aspekter av den spektrala teorin om automorfa former, tillämpningar inom talteori eller ytterligare studie av algebrogeometriska aspekter.

Lärandemål

Efter genomförande av kursens moment kommer studenterna:

  • att få en bakgrund i modulära former därefter studierna kan fortsättas i de olika möjliga riktningarna
  • att förstå och kunna tillämpa tekniker från den klassiska teorin om modulära former

Kurslitteratur och förberedelser

Särskild behörighet

Avslutad kurs i komplex analys.

Rekommenderade förkunskaper

Avslutat kurs i Galois teori

Utrustning

Ingen information tillagd

Kurslitteratur

* D. Bump, Automorphic Forms and Representations, Cambridge University Press, 1998
* F. Diamond and J. Shurman, A first course in modular forms, Springer, 2005
* H. Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, American Mathematical Society, 2002
* J.S. Milne, Modular Functions and Modular Forms, Course notes available at www.jmilne.org/math/CourseNotes/mf.html
* P. Sarnak, Some Applications of Modular Forms, Cambridge University Press, 1990
* J-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag New York, 1973.

Examination och slutförande

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

Betygsskala

P, F

Examination

  • INL1 - Inlämningsuppgift, 7,5 hp, betygsskala: P, F

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

Möjlighet till komplettering

Ingen information tillagd

Möjlighet till plussning

Ingen information tillagd

Examinator

Etiskt förhållningssätt

  • Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
  • Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
  • Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.

Ytterligare information

Kursrum i Canvas

Registrerade studenter hittar information för genomförande av kursen i kursrummet i Canvas. En länk till kursrummet finns under fliken Studier i Personliga menyn vid kursstart.

Ges av

Huvudområde

Denna kurs tillhör inget huvudområde.

Utbildningsnivå

Forskarnivå

Påbyggnad

Ingen information tillagd

Forskarkurs

Forskarkurser på SCI/Matematik