FSF3710 Avancerade ämnen i differentierbarhet och integrerbarhet 7,5 hp

Matematisk analys är ett rikt område med sto variation av tekniker och metoder. Nästan alla områden i matematiken har influerats av metoder från analysen. I den här kursen så kommer vi att behandla flera av dessa tekniker. Mer specifikt så kommer vi att behandla reel funktionsteori (Sobolev, Lipschitz och BV-rum), singulara integraler (Calderon-Zygmund teori), konvexitet (Alexandrov's Theorem), vissa avancerade tekniker i partiella differentialekvationer (t.ex. De Giorgi-Nash- Moser teori) och konvergensegenskaper hos Fourierserier. Efter avslutad kurs så kommer kursdeltagarna att ha en god förståelse av en plethora av avancerade områden inom matematisk analys.

Efter avslutad kurs sa skall studenten:

• Ha en god förståelse for en rad olika områden inom matematisk analys. Områdena kan, till viss del, påverkas av studenternas egna forskningsintressen. Men förståelsen skall innefatta reel funktionsteori, singulara integraler, konvexitet, de Giorgi-Nash-Moser teori, konvergensegenskaper hos Fourierserier.
• Kunna självständigt läsa, tillgodogöra sig och presentera avancerad matematik.
• Kunna första och syntetisera avancerad matematik.
• Kunna situera ovanstående områden i ett vidare matematiskt perspektiv och visa insikt i möjliga tillämpningsområden.

Kursen ges på doktorandnivå. Det ar önskvart att deltagarna ska ha en gedigen bakgrund i matematisk analys (t.ex. SF2713) och måtteori (t.ex. SF2743 Avancerad Reel Analys). En elementar förståelse for POE och Sobolevrum  är också önskvärd.

Kurslitteraturen kommer att bestämmas i samråd mellan kursdeltagarna och kursledarna lite beroende på vilken inriktning kursen får. Enskilda kapitel ur följande verk kan komma att användas:

L Caffarelli, X Cabre- Fully nonlinear elliptic equations

R Courant, D Hilbert -Methods of Mathematical  Physics, Volume 1

MG. Crandall, H Ishii, P-L- Lions user's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations

MG. Crandall, H Ishii, P-L - Lions user's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations

L.C. Evans- Partial Differential Equations

L C Evans, R F Gariepy- Measure theory and fine properties of functions

D Gilbarg, N Trudinger- Second order partial differential equations

E Giusti- Direct Methods in the Calculus of Variations

E Di Nezza, G Palatucci, E Valdinoci- Hitchhiker's guide to the fractional Sobolev spaces

J Maly, W Ziemer Fine regularity properties for solutions of elliptic PDEs

E Stein- Harmonic analysis

E Stein - Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions

L Tartar-The General Theory of Homogenization

W Ziemer- Weakly differentiable functions Sobolev spaces and functions of bounded variation

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

• Presentation av ett område under ett seminarie.
• Föreslå inlämningsuppgifter.
• Aktivt deltagande under kursens seminarier.
• Muntlig examen vid kursens slut.

Muntlig examen.

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.