Funktioner av flera variabler. Topologiska grundbegrepp i Rn. Differentierbarhet och linjär approximation av avbildningar.
Partiella derivator, differentialer, gradient.
Kedjeregeln i allmän form. Implicita funktionssatsen.
Extremproblem med och utan bivillkor. Multipelintegraler, koordinatbyten, geometriska tillämpningar. Elementär vektoranalys: Kurv- och ytintegraler, Gauss', Greens och Stokes' formler.
Studenten förväntas/skall efter genomgången godkänd kurs:
- Kunna redogöra för funktionsbegreppet i flera variabler, inklusive definitions- och värdemängd, sammansatta och inversa funktioner, nivåkurvor och -ytor, samt i enklare fall begreppen öppen mängd, sluten mängd, begränsad mängd och rand till en mängd.
- Kunna derivera partiellt och veta att då derivatorna är kontinuerliga spelar deriveringsordningen ingen roll. Kunna använda kedjeregeln och omforma enklare differentialuttryck i nya koordinater.
- Kunna använda andraderivatorna för att karakterisera kritiska punkter i främst två dimensioner.
- Kunna bestämma största och minsta värden för kontinuerliga funktioner på slutna och begränsade områden. Kunna i enklare fall använda Lagranges metod för att optimera funktioner under bivillkor.
- Kunna bestämma ekvationer för tangentplan. Kunna bestämma gradienten till en funktion och veta dess tolkning som normal till tangentlinjer resp. -plan. Kunna beräkna riktningsderivator.
- Kunna använda linjär approximation och Taylors formel, främst till ordning två och i två dimensioner.
- Kunna bestämma krökningen för kurvor i två och tre dimensioner.
- Kunna redogöra för hur dubbelintegraler införs som gränsvärde av Riemannsummor. Kunna beräkna dubbelintegraler, samt i enklare fall trippelintegraler, genom upprepad integrering. Detta inkluderar att bestämma integrationsgränser i de successiva integrationerna.
- Kunna använda multipelintegraler i tillämpningar, t ex för att bestämma volymer och areor.
- Kunna beräkna kurvintegraler i två och tre dimensioner. Kunna beräkna ytintegraler i tre dimensioner. Kunna i enklare fall använda Greens formel och divergenssatsen.
- Kunna byta väg i kurvintegraler och i enklare fall avgöra om en potentialfunktion existerar samt i förekommande fall bestämma denna.
För högre betyg ska studenten också:
- Allmänt sett kunna lösa svårare, mer sammansatta problem och visa större insikt i teorin och begreppen, främst teorin om kontinuerliga funktioner.
- Kunna definiera gränsvärde och kontinuitet och bevisa att givna funktioner är kontinuerliga. Veta skillnaden mellan gränsvärden och kontinuitet i en och i högre dimensioner.
- Kunna definiera differentierbarhet samt ge kriterium för detta .
- Kunna Taylors formel av högre ordning och för tre variabler, inklusive andraderivateundersökning vid kritiska punkter.
- Kunna bestämma derivator genom implicit derivering av ekvationssystem.
- Kunna redogöra för kurvors och ytors orientering, linjeintegralers oberoende av vägen, existens av potentialfunktion, samt fenomen som uppstår vid singulära fält och potentialer.
- Kunna formulera och använda Stokes sats.