Vektorer och geometri i två och tre dimensioner, skalärprodukt, kryssprodukt.
Linjen och planets ekvation. Linjärt beroende och oberoende vektorer samt basvektorer.
Funktioner av flera variabler; partiella derivata, kedjeregler, gradient och dess egenskaper samt riktningsderivata.
Linjära ekvationssystem. Matriser och determinanter. Cramers regel. Area- och volymstolkning av determinanter. Liggande och stående linjära ekvationssystem. Matriser som linjära avbildningar från R^n till R^m. Produktregeln för determinanter. Matrisalgebra och inversmatriser.
Funktionalmatriser och funktionaldeterminanter
Differentialer och differentialens invarians. Taylors formel för flervariabelfunktioner.
Transformation av partiella derivator vid koordinatbyten.
Inversa och implicita funktionssatserna.
Transformation av vektorer och matriser vid byte av koordinatsystem.
Egenvärden och egenvektorer. Diagonalisering av matriser, speciellt symmetriska matriser.
Spektralsatsen.
Diagonalisering av kvadratiska former under ortogonala koordinattransformationer.
Andragradskurvor och -ytor.
Lokala extremvärden. Globala extremvärdesproblem med och utan bivillkor. Lagranges multiplikatormetod.
Minstakvadrat-metoden.
Efter kursen skall studenterna kunna
- känna till och kunna använda den linjära algebrans grundbegrepp: vektorer och deras operationer, räta linjer och plan, linjärt beroende och oberoende, basvektorer, linjära transformationer, matriser och determinanter, egenvärden och egenvektorer samt kvadratiska former.
- känna till och kunna använda grundbegreppen i differentialkalkylen för flervariabelfunktioner: partiell derivata, differentierbarhet, differential, gradient, riktningsderivata, funktionalmatris och funktionaldeterminant.
- förstå och kunna förklara samspelet mellan linjär algebra och analys i kursen, bl.a vid linjarisering av funktioner och vid analys av funktioners stationära punkter.
Mer specifikt skall studenten efter avslutad kurs kunna
- lösa geometriska problem involverande punkter, linjer och plan med hjälp av skalär- och kryssprodukt
- tillämpa kedjeregler vid partiell derivering samt avgöra om en funktion uppfyller en viss partiell differentialekvation
- bestämma tangentplan och riktningsderivator med hjälp av gradienter
- bestämma gränsvärden av en flervariabelfunktion samt avgöra om funktionen är differentierbar.
- lösa linjära ekvationssystem samt känna till och hantera de tre möjliga fallen beträffande antal lösningar
- addera, multiplicera och invertera matriser samt känna till förutsättningarna för existens av invers
- bilda differentialer och Taylorutvecklingar av flervariabelfunktioner
- transformera partiella derivator vid koordinatbyten
- använda funktionalmatriser och -determinanter för att lösa problem i samband med lokal existens av inversfunktioner och implicit definierade funktioner
- bestämma vektor- och matriskomponenter vid linjära koordinattransformationer
- bestämma egenvärden och motsvarande egenvektorer samt tillämpa detta i samband med diagonalisering av matriser
- analysera andragradskurvor och -ytor genom diagonalisering av motsvarande kvadratiska former via ortonormala transformationer
- bestämma och analysera karaktären hos stationära punkter
- lösa optimeringsproblem på olika typer av områden med eller utan bivillkor
- använda minstakvadrat-metoden samt ge en algebraisk och en analytisk förklaring till metoden.
