Del 1, vektoranalys: Skalära och vektorvärda funktioner, Derivering och integration av vektorvärda funktioner, Gradient, Potential, Linje- och ytintegraler, Gauss’ sats, Stokes’ sats, Nablaoperatorer, Indexräkning, Integralsatser, Koordinattransformationer. Några viktiga vektorfält, Laplaces och Poissons ekvationer.
Del 2, partiella differentialekvationer: Fysikaliska problem som leder till olika typer av differentialekvationer, t.ex. vågekvationen, Laplaces och Poissons ekvation. d’Alemberts lösning för vågekvationen, variabelseparation eller Fouriers metod. Hilbertrum, spektralteori i funktionsrum, egenvärdesproblem och Sturm-Liouville-system. Variabelseparation i kartesiska, cylindriska och sfäriska koordinater resulterar i nya speciella funktioner, t.ex. besselfunktioner, legendrepolynom och klotytfunktioner.
Del 1: Målet är att ge förståelse för de vektoranalytiska sambanden, att visa på praktiska tillämpningar av vektoranalys samt att ge träning i problemformalisering och lösningsmetoder. Kursmålen, som också examineras, utgörs av att kunna:
- redogöra för skalära och vektorvärda funktioners egenskaper och skilja på dessa vid beräkningar
- ge fysikalisk tolkning av gradienten, divergensen och rotationen och relaterade begrepp
- utföra derivation och integration av vektorvärda funktioner i kartesisk, cylindrisk och sfärisk geometri
- transformera vektorvärda funktioner mellan olika koordinatsystem
- använda nablaräkning för förenkling av vektoranalytiska samband
- utföra grundläggande beräkningar med kartesiska tensorer
- redogöra för viktiga vektorfältsmodeller av naturen
- lösa Laplaces och Poissons ekvationer i enkla fall
Del 2: Målet är att lära sig att formulera partiella differentialekvationer (PDE), rand- och begynnelsevillkor (RV och BV) utifrån fysikaliska problemställningar, lösa problemen med analytiska eller numeriska metoder samt göra fysikaliska tolkningar av resultatet. Efter kursen skall studenterna kunna
- lösa vissa exakt lösbara andra ordningens linjära differentialekvationer.
- lösa vissa exakt lösbara Sturm-Liouvilleproblem.
- använda besselfunktioner och legendrepolynom
- beräkna Fourierserier
- beräkna Fouriertransformer
- räkna med distributioner och deras derivator och Fouriertransformer
- ställa upp matematiska modeller med PDE, RV och/eller BV
- lösa homogena och inhomogena PDE problem med Fouriers metod
- lösa PDE problem som kan separeras i kartesiska, cylinder- eller sfäriska coordinater
- lösa Dirichlets problem i enhetsskivan och i sfären
- lösa vissa PDE problem med Fouriertransformer
- fysikalisk tolka lösningar till PDE problem