Linjär algebra, jämvikts- och minimeringsproblem. Tillämpning på fackverk och elektriska nät. Dualitet och variationskalkyl, essentiella och naturliga randvillkor. System av ordinära differentialekvationer, linjära och ickelinjära. Fasplan, stabilitet, bifurkationer. Numeriska metoder för lösning av ickelinjära system och differentialekvationer. Tillämpningar på mekaniska och ekologiska system.
Lösning av linjära ekvationssystem. Symmetriska positiv definita matriser.
Eigenvärden och dynamiska system.
Laborationer: En laboration/räkneuppgift varannan vecka, från enkla handräkneexempel till parameterstudier av dynamiska modeller i ekologi och mekanik.
Det övegripande målet med kursen är att ge grundläggande kunskap inom tillämpad matematik med direkt relevans för modellering inom ingenjörsvetenskap och forskning. Speciell vikt läggs vid samspelet mellan matematiska modellers egenskaper och förutsättningarna för dess framgångsrika implementering numeriskt.
Efter kursen bör du ha lärt dig att
- identifiera och beskriva diskreta jämviktsmodeller genom att använda nätverksmetoder
- relatera jämviktsproblem till minimeringsprinciper och lösa minimeringsproblem med bivillkor med hjälp av Lagrangemultiplikatorer
- formulera variationsproblem med utgångspunkt från enkla fysikaliska principer och härleda de tillhörande Euler-Lagrangeekvationerna så att du kan derivera grundläggande ekvationer i en, två och tre rumsdimensioner
- modellera tidsberoende diskreta system med hjälp av ordinära differentialekvationer
- undersöka stabiliteten hos autonoma system och geometriskt utforska fasrummet av tvådimensionella dynamiska system med hjälp av analytiska och numeriska metoder
- härleda asymptotiska utvecklingar för enkla singulära pertubationsproblem
- förstå relationen mellan konvergens, konsistens och stabilitet hos numeriska metoder
- förstå väsentliga egenskaper hos numeriska metoder för att lösa stationära och icke-stationära problem så att du kan jämföra olika numeriska metoder och välja ut rimliga algoritmer för att lösa givna problem
- analysera och välja iterativa metoder för stora linjära problem.
