FSI3140 Liealgebror och kvantgrupper 7,5 hp

Kursen börjar med inledning till Liealgebror med flera exempel av klassiska matrisalgebror. Allmänna egenskaper av lösbara, nilpotenta och halvenkla Liealgebror. Största delen av kursen tar en detaljerad studie av halvenkla Liealgebror och deras representationer. Dessa algebror möter man i många tillämpningar i atom-, kärn- och partikelfysik. De spelar också en viktig roll i ren matematik, i differentialgeometri, algebraisk geometri, integrabla system och som symmetrier av differentialekvationer. Vi studerar också oändligtdimensionella Liealgebror, inklusivt affina Kac-Moody-algebror som är viktiga i tillämpningar i kvantfältteori och strängteori. Kursen slutar med en inledning till teorin av kvantgrupper (deformationer av halvenkla Liealgebror). Dessa är ett viktigt verktyg i teorin av integrabla system och ger intressanta exempel i ickekommutativ geometri.

Doktoranden ska efter genomgången kurs kunna:

• förstå relationen mellan Liealgebror och Liegrupper, som symmetrier i fysikaliska modeller.
• kunna strukturteorin av halvenkla Liealgebror med hjälp av rotdiagram och kunna derivera strukturrelationer i Liealgebror ur rotgeometrin.
• kunna klassificera representationer av halvenkla Liealgebror och konstruera några av representationer som dyker upp i fysikaliska modeller.
• kunna använda metoder i teorin av associativa algebror för att konstruera representationer av Liealgebror.
• förstå grundstrukturen av oändligtdimensionella Liealgebror i kvantfysik och att kunna konstruera deras representationer.
• förstå strukturen av kvantgrupper (Hopfalgebror) som är deformationer av klassiska Liealgebror.

Bra kunskaper i linjär algebra. Fortsättningskurs i kvantmekanik eller kvantmekanikens matematiska grunder; kännedom av abstrakt algebra, t.ex. en av kurserna algebra, diskret matematik.

Kurskompendium.

Övrig litteratur:

J.E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras a Representation Theory, Springer Verlag, 1980.

V.G. Kac and A.K. Raina: Bombay lectures on highest weight representations of infinite-dimensional Lie algebras, World Scientific Publ. 1987,

C. Kassel: Quantum Groups, Springer GTM 155, 1995.

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

Skrivna lösningar till hemuppgifter och en skriftlig eller muntlig tentamen.

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.