SF1674 Flervariabelanalys 7,5 hp

Multivariable Calculus

  • Utbildningsnivå

    Grundnivå
  • Huvudområde

    Teknik
  • Betygsskala

    A, B, C, D, E, FX, F

Kurstillfällen/kursomgångar

VT19 för programstuderande

VT20 för programstuderande

Lärandemål

Studenten förväntas/skall efter genomgången godkänd kurs:

  • Kunna redogöra för funktionsbegreppet i flera variabler, inklusive definitions- och värdemängd, sammansatta och inversa funktioner, nivåkurvor och -ytor, samt i enklare fall begreppen öppen mängd, sluten mängd, begränsad mängd och rand till en mängd.
  • Kunna derivera partiellt och veta att då derivatorna är kontinuerliga spelar deriveringsordningen ingen roll. Kunna använda kedjeregeln och omforma enklare differentialuttryck i nya koordinater.
  • Kunna använda andraderivatorna för att karakterisera kritiska punkter i främst två dimensioner.
  • Kunna bestämma största och minsta värden för kontinuerliga funktioner på slutna och begränsade områden. Kunna i enklare fall använda Lagranges metod för att optimera funktioner under bivillkor.
  • Kunna bestämma ekvationer för tangentplan. Kunna bestämma gradienten till en funktion och veta dess tolkning som normal till tangentlinjer resp. -plan. Kunna beräkna riktningsderivator.
  • Kunna använda linjär approximation och Taylors formel, främst till ordning två och i två dimensioner.
  • Kunna bestämma krökningen för kurvor i två och tre dimensioner.
  • Kunna redogöra för hur dubbelintegraler införs som gränsvärde av Riemannsummor. Kunna beräkna dubbelintegraler, samt i enklare fall trippelintegraler, genom upprepad integrering. Detta inkluderar att bestämma integrationsgränser i de successiva integrationerna.
  • Kunna använda multipelintegraler i tillämpningar, t ex för att bestämma volymer och areor.
  • Kunna beräkna kurvintegraler i två och tre dimensioner. Kunna beräkna ytintegraler i tre dimensioner. Kunna i enklare fall använda Greens formel och divergenssatsen.
  • Kunna byta väg i kurvintegraler och i enklare fall avgöra om en potentialfunktion existerar samt i förekommande fall bestämma denna.

För högre betyg ska studenten också:

  • Allmänt sett kunna lösa svårare, mer sammansatta problem och visa större insikt i teorin och begreppen, främst teorin om kontinuerliga funktioner.
  • Kunna definiera gränsvärde och kontinuitet och bevisa att givna funktioner är kontinuerliga. Veta skillnaden mellan gränsvärden och kontinuitet i en och i högre dimensioner.
  • Kunna definiera differentierbarhet samt ge kriterium för detta .
  • Kunna Taylors formel av högre ordning och för tre variabler, inklusive andraderivateundersökning vid kritiska punkter.
  • Kunna bestämma derivator genom implicit derivering av ekvationssystem.
  • Kunna redogöra för kurvors och ytors orientering, linjeintegralers oberoende av vägen, existens av potentialfunktion, samt fenomen som uppstår vid singulära fält och potentialer.
  • Kunna formulera och använda Stokes sats.

Kursens huvudsakliga innehåll

Funktioner av flera variabler. Topologiska grundbegrepp i Rⁿ. Differentierbarhet och linjär approximation av avbildningar.

Partiella derivator, differentialer, gradient.

Kedjeregeln i allmän form. Implicita funktionssatsen.

Extremproblem med och utan bivillkor. Multipelintegraler, koordinatbyten, geometriska tillämpningar. Elementär vektoranalys: Kurv- och ytintegraler, Gauss, Greens och Stokes formler.

Behörighet

Grundläggande kunskaper i linjär algebra och envariabelanalys motsvarande

  • SF1672 Linjär algebra 
  • SF1673 Analys i en variabel

Litteratur

Meddelas senast 4 veckor före kursstart på kurshemsidan

Examination

  • TEN1 - Tentamen, 7,5, betygsskala: A, B, C, D, E, FX, F

Krav för slutbetyg

En skriftlig tentamen (TEN1; 7.5 hp).

Ges av

SCI/Matematik

Examinator

Maria Saprykina <masha@kth.se>

Versionsinformation

Kursplan gäller från och med HT2016.
Examinationsinformation gäller från och med HT2016.