FSF3623 Metoder i elliptiska och paraboliska PDE 7,5 hp

Fokus kommer att ligga på olika metoder, verktyg och idéer som används av matematiker som arbetar med PDE.

• Maximum/jämförelseprincipen (i olika formerforms), Hopf ’s lemma.

• Harnack’s olikhet, Harnack’s olikhet nära randen.

• Fundamentala lösningar, Green’s funktion, Green’s integral identiteter.

• Elliptiska och paraboliska uppskattningar, Alexandroffs uppskattningar.

• Barrierer, regularity upp till randen.

• Sobolev rum: Svag/stark konvergens, inbeddingar, Kompakthetsargument.

• Lösningsbegrepp: W^k,m, viscositet, Klassisk i C^k .

• Omarrangeringar av mängder och funktioner.

• Kvalitetsteori: Symmetri, Rörliga/glidande plans metoden, reflektioner, inversioner,

• Geometrisk måtteori: Skalning, uppblåsning, platthet, måtteoretisk normal, tätheter, struktursatser.

• Hausdorff dimension, packnings mått.

Efter avslutad kurs ska studenten kunna: bemästra flera metoder som existenssatser, kvalitativa egenskaper samt geometriska metoder inom PDE. Flera begrepp som svag, stark, samt viskositetslösningar och även allmänna verktyg så som geometrisk måtteori, Soboleva rum kommer att ingå i inlärningen.

Civilingenjörs- eller Masterexamen med minst 30 hp inom matematik.

Goda kunskaper i grundläggande analys, och en inledande kurs i PDE på grundnivå.

Förslag (beroende valt ämne):  

1. Caffarelli, Luis A.; Cabr, Xavier; Fully nonlinear elliptic equations. American Mathematical Society Colloquium Publications, 43. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995. vi+104 pp. ISBN: 0-8218-0437-5  
2. Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992. viii+268 pp. ISBN: 0-8493-7157-0  
3. Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematcs. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN: 3-540-41160-7 35-02 (35Jxx)  
4. Kawohl, Bernhard; Rearrangements and convexity of level sets in PDE. Lecture Notes in Mathematics, 1150. Springer-Verlag, Berlin, 1985.iv+136 pp. ISBN: 3-540-15693-3  
5. Maly, Jan; Ziemer, William P.; Fine regularity of solutions of elliptic partialdifferential equations. Mathematical Surveys and Monographs, 51.American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. xiv+291 pp. ISBN:0-8218-0335-2  
6. Pucci, Patrizia; Serrin, James; The maximum principle. Progressin Nonlinear Differential Equations and their Applications, 73. Birkhuser Verlag, Basel, 2007. x+235 pp. ISBN: 978-3-7643-8144-82

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

• PRO1 - Projektarbete, 7,5 hp, betygsskala: P, F

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

• Presentation av ett moment med skriftlig rapport

• Förbereda tre hemuppgifter med lösningar inom vald moment.

• Lösa hemuppgifter, som föreslås av andra i gruppen.

Godkända inlämningsuppgifter och muntliga presentation samt projekt.

Henrik Shah Gholian

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.