FSF3707 Riemann-Hilbert metoder i asymptotisk analys 7,5 hp

• Lineära ordinära differential ekvationer och sadelpunkt metoder.(Typfall: Airy ekvationen)
• Riemann-Hilbert problem: monodromi för ordinära differential ekvationer och isomonodromi metoden.
• Riemann-Hilbertproblem: Painlevé II ekvationen

1. Hastings-McLeod lösningen
2. Sambandsformler
3. Vanishing Lemma och polfria lösningar

• Diskrete Painlevé ekvationer och ortogonala polynom.
• Deift-Zhou steepes  descent metoden för ortogonala polynom
• Dubbla skalningsgränsen
• Liten spridning för Korteweg-de-Vries

Det övergrippande syftet är att diskutera hur man kan använda Riemann-Hilbert metoder för att studera problem i asymptotiska analys av specialfunktioner/ortogonala polynom och differential ekvationer.

Efter avslutad kurs förväntas studenten kunna förklara och arbeta med följande koncept:

• Monodromi till differential ekvationer
• Riemann-Hilbert problem
• lsomonodroma deformationer
• Painlevé ekvationer
• Lax par
• Diskreta Painlevé ekvationer och ortogonala polynom
• Deift-Zhou steepest descent för Riemann-Hilbert problem

1. g-funktioner
2. Globala parametriser
3. Lokala parametriser

• Dubbla skalningsgränser

Efter kursen ska studenten ha tillräckliga kunskaper för att självständigt och effektivt läsa forskningsartiklar inom ämnet.

Civilingenjörs- eller Masterexamen med minst 30 hp inom matematik (inklusive SF1628  Komplex analys  eller motsvarande).

Viss kunskap inom funktionsanalys och operatorteori.

• A.S. Fokas, A. Its, A. A.Kapaev; V.Y. Novokshenov, Painlev transcendents. The Riemann-Hilbert approach. Mathematical Surveys and Monographs, 128. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. xii+553 pp.

• P.A. Deift, Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann-Hilbert approach. Courant Lecture Notes in .Mathematics, 3. New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. viii+273pp.

Vi kommer också använda (delar av) forskningsartiklar och föreläsningsanteckningar från arXiv.

• INL1 - Inlämningsuppgift, 7,5 hp, betygsskala: P, F

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

Inlämningsuppgifter och presentationer/muntlig examen.

Inlämningsuppgifter och presentationer/muntlig examen.

Maurice Duits

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.