FSF3716 Atiyah-Singers Indexsats 7,5 hp

• Indexteori i funktionalanalys.
• Elliptiska operatorer på mångfalder.
• Diracoperatorer.
• Vectorbuntar, karaktäristiska klasser, K-teori.
• Gauss-Bonnets, Hirzebruchs, och Riemann-Rochs satser.
• Atiyah-Singers indexsats.
• Första bevis.
• Bevis genom värmeledningskärnan i detalj.
• Tillämpningar på obstruktioner till positiv skalärkrökning, dimensioner av modulirum, Donaldson- och Seiberg-Witten-invarianter.

Atiyah-Singers Indexsats ger en fundamental förbindelse mellan differentialgeometri, partiella differentialekvationer, differentialtopologi, operatoralgebror, och har kopplingar till många andra områden. 

Den grundläggande observationen är att indexet av Fredholmoperatorer är en homotopiinvariant. Exempel på sådana Fredholmoperatorer är elliptiska differentialoperatorer på mångfalder. Atiyah-Singers indexsats talar om hur det analytiska indexet av en elliptisk operator kan beräknas i termer av topologiska data för den underliggande mångfalden. Då elliptiska operatorer ofta dyker upp relaterade till geometriska strukturer på mångfalder, ger satsen djupa slutsatser om samband mellan geometri och topologi för mångfalder. Klassiska resultat som satser av Gauss-Bonnet, Hirzebruch, Riemann-Roch kan härledas som specialfall och kommer tas upp i kursen.

Målet för denna doktorandkurs är att förstå Atiyah-Singers indexsats och dess tillämpningar. Målet är också att ge bakgrund i de olika matematikområden som är inblandade, som funktionalanalys; elliptiska differentialoperatorer på mångfalder; Cliffordalgebror, spinorer, Diracoperatorer; vektorbuntar och karaktäristiska klasser.

Detta är en bred doktorandkurs'' som är menad att vara tillgänglig och meningsfull för alla doktorander i matematik.

Kursmål är att:

• förstå Atiyah-Singers indexsats och dess tillämpningar
• förstå den nödvändiga bakgruden i analys, topologi, och geometri

Kurser i funktionalanalys, differentialgeometri, algebraisk topologi, är rekommenderade som förkunskaper, men det är inte strikt nödvändigt att ha läst alla dessa kurser.

• INL1 - Inlämningsuppgift, 7,5 hp, betygsskala: P, F

Examinator beslutar, baserat på rekommendation från KTH:s handläggare av stöd till studenter med funktionsnedsättning, om eventuell anpassad examination för studenter med dokumenterad, varaktig funktionsnedsättning.

Examinator får medge annan examinationsform vid omexamination av enstaka studenter.

När kurs inte längre ges har student möjlighet att examineras under ytterligare två läsår.

Mattias Dahl

• Vid grupparbete har alla i gruppen ansvar för gruppens arbete.
• Vid examination ska varje student ärligt redovisa hjälp som erhållits och källor som använts.
• Vid muntlig examination ska varje student kunna redogöra för hela uppgiften och hela lösningen.