Dynamics and limits in algebraic combinatorics
Tid: Fr 2020-12-11 kl 15.00
Plats: Via zoom https://kth-se.zoom.us/j/61809825652, (English)
Ämnesområde: Matematik
Respondent: Samu Potka , Matematik (Avd.)
Opponent: Professor Victor Reiner, University of Minnesota
Handledare: Professor Svante Linusson, Matematik (Avd.)
Abstract
Denna avhandling består av följande sex artiklar.
- Properties of the Edelman-Greene bijection. Edelman och Greene konstruerade en bijektion mellan reducerade ord av den omvända permutationen och Youngtablåer med standardfyllning. Vi bevisar att för varje reducerat ord ändras formen på insättningstablåns region som innehåller de minsta möjliga elementen exakt som den övre vänstra komponenten av permutationens diagram. Egenskaper hos Edelman-Greenebijektionen begränsad till 132- och 2143-undvikande permutationer beskrivs. Vi betraktar också Edelman-Greenebijektionen tillämpad på oreducerade ord.
- On random shifted standard Young tableaux and 132-avoiding sorting networks. Vi studerar skiftade Youngtablåer med standardfyllning (SYT). Gränsformen av ytan av likformigt fördelade skiftade SYT med trappform bestäms där heltalen i Youngtablån ger höjder. Den implicerar genom egenskaper hos Edelman-Greenebijektionen resultat om slumpmässiga 132-undvikande sorteringsnätverk, inkluderande gränsformer för banor och mellanliggande permutationer. Dessutom betraktar vi det förväntade antalet på varandra följande grannar i SYT. Det bevisas att i genomsnitt innehåller varje rad och varje kolonn av en skiftad SYT med trappform precis ett sådant grannpar.
- The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths. Cirkulära Dyck-stigar är en supermängd till de klassiska Dyck-stigarna enumererade av Catalantal. Dessa objekt har nyligen studerats av Alexandersson och Panova. Vi beräknar antalet cirkulära Dyck-stigar förfinat med avseende på flera parametrar. Dessutom visar vi att denna q-analog uppvisar det cykliska sållfenomenet under en naturlig gruppverkan av den cykliska gruppen. Resultaten är generaliserade till möbiusstigar. Vi diskuterar också egenskaper hos en generalisering av sållfenomenet som vi kallar delmängdssållfenomenet och introducerar begreppet Lyndon-lika sållfenomen för speciella rekursiva egenskaper hos kombinatoriska objekt som uppvisar det cykliska sållfenomenet.
- The exact phase diagram for a semipermeable TASEP with nonlocal boundary jumps. Vi betraktar en ändlig endimensionell totalt asymmetrisk enkel exklusionprocess (TASEP) med fyra typer av partiklar, 1, 0, -1, och *, med reservoarer i ändpunkterna. Partiklar av art 0 kan varken inträda i eller lämna gittret, och de av art * är begränsade att ligga på den första eller sista platsen. Partiklar av art 1 inträder från den vänstra reservoaren till antingen den första eller andra platsen, rör sig till höger och lämnar från antingen den sista eller nästsista platsen. Omvänt, partiklar av typ -1 inträder från den högra reservoaren i antingen den sista eller nästsista platsen, rör sig till vänster och lämnar från antingen den första eller andra platsen. Den här dynamiken är motiverad av en naturlig slumpvandring på Weylgruppen av typ D. Vi beräknar den exakta icke-jämvikt stationära fördelningen med en matrisansats som bygger på tidigare arbete av Arita. Vi ger sedan explicita formler för den icke-jämvikt partitionsfunktionen samt densiteter och flöde för alla arter i jämviktstillståndet, och härleder fasdiagrammet.
- Limiting directions for random walks in classical affine Weyl groups. Låt W vara en ändlig Weylgrupp och W_a den motsvarande affina Weylgruppen. Ett slumpmässigt element av W_a kan fås som en reducerad slumpvandring på alkoverna av W_a. Enligt en sats av Lam (Ann. Prob. 2015) närmar sig en sådan vandring en av |W| möjliga riktningar. Vi beräknar dessa riktningar när W är B_n, C_n och D_n och slumpvandringen är viktad med Kac- och duala Kac-vikter. Det här besvarar Lams frågor för typerna B och C i det affirmativa och för typ D i det negativa. Det huvudsakliga verktyget är en kombinatorisk tvåradsmodell för en totalt asymmetrisk enkel exklusionprocess som vi kallar D*-TASEP, med fyra parametrar. Genom att specialisera parametrarna på olika sätt får vi en TASEP för varje Weylgrupp nämnd ovan. Beräkning av vissa korrelationer i dessa processer ger de eftersträvade gränsriktningarna.
- Refined Catalan and Narayana cyclic sieving. Vi bevisar flera nya instanser av det cykliska sållfenomenet på Catalan-objekt av typ A och B, samt flera förfiningar av det cykliska sållfenomenet på Catalan-objekt. Till exempel betraktar vi trianguleringar förfinade enligt antalet "öron", icke-korsande matchningar med ett fixt antal korta kanter och icke-korsande konfigurationer med ett fixt antal öglor och kanter.