Nyhetsflöde
Logga in till din gruppwebb
Du är inte inloggad på KTH så innehållet är inte anpassat efter dina val.
Nedan är de senaste inläggen, kommentarerna, redigeringarna osv. De med senaste aktivitet kommer först.
Daniel Schlaug redigerade 4 december 2011
\frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right),\; o Eftersom sinx och cosx ≥ 0 i definitionsmängden så kan integralen delas upp i komponenterna \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} f\left( x \right):=\int_{0}^{x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} Vilket enligt analysens huvudsats ger f'\left( x \right)=\sqrt{1-x^{2}} Allt ovan ger följande tämligen utbroderade uträkning. \frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)=\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)= =\frac{d}{dx}f\left( \sin x \right)-\frac{d}{dx}f\left( \cos x \right)=f'\left( \sin x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \sin x \right)-f'\left( \cos x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \cos x \right)= =\cos \left( x \right)\sqrt{1-\sin ^{2}x}-\left( -\sin x \right)\sqrt{1-\cos ^{2}x}=\cos \left( x \right)\sqrt{\cos ^{2}x}+\sin \left( x \right)\sqrt{\sin ^{2}x}= =\cos ^{2}\left( x \right)+\sin ^{2}\left( x \right)=1
Daniel Schlaug redigerade 4 december 2011
\frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right),\; o Eftersom sinx och cosx ≥ 0 i definitionsmängden så kan integralen delas upp i komponenterna \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} f\left( x \right):=\int_{0}^{x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} Vilket enligt analysens huvudsats ger f'\left( x \right)=\sqrt{1-x^{2}} Allt ovan ger följande tämligen utbroderade uträkning. \frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)=\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)= =\frac{d}{dx}f\left( \sin x \right)-\frac{d}{dx}f\left( \cos x \right)=f'\left( \sin x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \sin x \right)-f'\left( \cos x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \cos x \right)= =\cos \left( x \right)\sqrt{1-\sin ^{2}x}-\left( -\sin x \right)\sqrt{1-\cos ^{2}x}=\cos \left( x \right)\sqrt{\cos ^{2}x}+\sin \left( x \right)\sqrt{\sin ^{2}x}= =\cos ^{2}\left( x \right)+\sin ^{2}\left( x \right)=1
Daniel Schlaug redigerade 4 december 2011
\frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right),\; o -----------------------------------------------------------------------------------------¶ \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} --- f\left( x \right):=\int_{0}^{x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} Vilket enligt analysens huvudsats ger f'\left( x \right)=\sqrt{1-x^{2}} Allt ovan ger följande tämligen utbroderade uträkning. \frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)=\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)= =\frac{d}{dx}f\left( \sin x \right)-\frac{d}{dx}f\left( \cos x \right)=f'\left( \sin x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \sin x \right)-f'\left( \cos x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \cos x \right)= =\cos \left( x \right)\sqrt{1-\sin ^{2}x}-\left( -\sin x \right)\sqrt{1-\cos ^{2}x}=\cos \left( x \right)\sqrt{\cos ^{2}x}+\sin \left( x \right)\sqrt{\sin ^{2}x}= =\cos ^{2}\left( x \right)+\sin ^{2}\left( x \right)=1
Eftersom sinx och cosx ≥ 0 i definitionsmängden så kan integralen delas upp i komponenterna ---