6.12d

\frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right),\; o<x<\frac{\pi }{2}

Eftersom sinx och cosx ≥ 0 i definitionsmängden så kan integralen delas upp i komponenterna

\int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}

f\left( x \right):=\int_{0}^{x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}

Vilket enligt analysens huvudsats ger

f'\left( x \right)=\sqrt{1-x^{2}}

Allt ovan ger följande tämligen utbroderade uträkning.

\frac{d}{dx}\left( \int_{\cos x}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)=\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{\sin x}{\sqrt{1-t^{2}}dt}-\int_{0}^{\cos x}{\sqrt{1-t^{2}}dt} \right)=

=\frac{d}{dx}f\left( \sin x \right)-\frac{d}{dx}f\left( \cos x \right)=f'\left( \sin x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \sin x \right)-f'\left( \cos x \right)\cdot \frac{d}{dx}\left( \cos x \right)=

=\cos \left( x \right)\sqrt{1-\sin ^{2}x}-\left( -\sin x \right)\sqrt{1-\cos ^{2}x}=\cos \left( x \right)\sqrt{\cos ^{2}x}+\sin \left( x \right)\sqrt{\sin ^{2}x}=

=\cos ^{2}\left( x \right)+\sin ^{2}\left( x \right)=1