Bayes Rules!

Abstract:

Aristoteles beskrev induktionsproblemet - att generalisera från observationer - och erkände Sokrates som den som identifierade problemet. Det har varit centralt på olika sätt under hela filosofins historia. Bayes och Laplace kvantifierade osäkerheten i induktion med sannolikheter i Bayesiansk tolkning. Idag ser vi en ökande mängd 'intelligenta' datorbaserade system som gör observationer och försöker tolka dem, och Bayes har fått konkurrens av flera alternativa metoder. Därför är grundvalarna för induktion och inferens fortfarande högaktuella.

Cox (Am Jour of Phys., 1946) försökte visa att Bayesianism är oundviklig om man vill räkna konsistent med osäker information. Iden är att alla rimliga alternativa osäkerhetsmått kan skalas om så att de omskalade osäkerheterna kombineras med multiplikation, som sannolikheter för oberoende storheter. Hans arbete har prisats och kritiserats i omgångar sedan dess. Speciellt har hans antaganden att osäkerhet graderas i ett kontinuum och att osäkerheter måste kombineras med en två gånger differentierbar funktion kritiserats. Antagandena föranleddes av Cox bevismetod och har senare mildrats.

Vi har visat att det finns goda skäl att betrakta Bayesianism som oundviklig även i modeller med ett ändligt antal grader av osäkerhet, och med en oändlig men inte tät mängd osäkerheter. Några antaganden måste dock göras som inte förefaller helt oundvikliga. Dessa hänger samman med problemets natur och inte med den bevismetod som används, vilket framgår av motexempel. Vi kallar antagandena förfiningsbarhet, strikt monotonicitet och separerbarhet. För att bevisa våra satser använder vi dualitet och en utveckling av bevismetoder som använts av Janos Aczel för associativitetsekvationen. I de fall våra antaganden inte gäller kan man få olika varianter av possibilistisk logik och, som gränstagningsoperationer, icke-monoton logik.