Data, Geometri och Homologi

QC 2026-09-01

Abstract

Moderna datamängder blir alltmer komplexa och heterogena. För att analysera sådan data måste man först avgöra vilket matematiskt rum som är anpassat för datan, hur objekt i detta rum ska jämföras, och vilka beräkningsbara invarianter som bevarar den information som är relevant för en given uppgift. Denna avhandling studerar dessa frågor ur ett topologiskt dataanalysperspektiv, med homologi som ett språk för att beskriva datans geometri.

Den första delen av avhandlingen utvecklar avstånd och invarianter för rum av persistensmoduler. Utgångspunkten är kategoriteoretisk: vi betraktar data som objekt i kategorier med tillräckligt mycket algebraisk struktur för att definiera ett storleksbegrepp. I synnerhet har abelska kategorier kärnor, kokärnor och exakta följder, vilket gör det möjligt att konstruera avstånd mellan objekt utifrån i vilken grad morfismer misslyckas med att vara isomorfismer. Persistensmoduler utgör ett centralt exempel: de beskriver hur homologiska egenskaper uppstår och försvinner längs en filtrering, och kan ses som funktorer från ett partiellt ordnat parameterrum till vektorrum. Inom detta ramverk studerar vi metriker inducerade av contours, vilka beskriver flöden i parameterrummet. Detta leder till kompakthetsresultat för familjer av flerdimensionella persistensmoduler. I det endimensionella fallet utvecklar vi algebraiska Wasserstein-metriker genom att kombinera contours med en viktning av persistensmoduler via ℓ_p-normer av deras intervallängder. Dessa metriker ger upphov till Wasserstein stable ranks, vilka är stabila och beräkningsbara invarianter som kan parametriseras på ett tolkningsbart sätt och optimeras i maskininlärningsuppgifter.

Den andra delen av avhandlingen tillämpar topologiska metoder inom neurovetenskap, där cellulära morfologier ger naturliga exempel på strukturerad geometrisk data. Mikroglia och andra förgrenade celler kan representeras som rotade träd i ett tredimensionellt rum, och deras morfologi kan karakteriseras med hjälp av topologiska deskriptorer. I morphOMICs-pipelinen kombineras sådana deskriptorer med vektoriseringar, bootstrapmetoder, dimensionsreduktion och klassificering för att kartlägga mikroglians morfologi över hjärnregioner, kön, utveckling, sjukdom och experimentell perturbation. Detta ger en datadriven atlas över mikroglians morfologi som inte förlitar sig på förvalda skalära morfologiska mått.

Vi introducerar också chromatic TMD, en topologisk deskriptor för att studera intracellulär organisation i förgrenade celler. Här representeras en cell av ett rotat träd, medan organeller såsom CD68-positiva lysosomer eller mitokondrier utgör delgrafer av detta träd. Inklusionen av organell-delgrafen i cellträdet inducerar en morfism av persistensmoduler, och bilden, kärnan och kokärnan av denna morfism beskriver komplementära aspekter av organellernas organisation: var organeller förekommer i grenarna, var de samlokaliseras i grenstrukturer och var de inte förekommer. En effektiv trädbaserad algoritm utvecklas för att beräkna dessa deskriptorer. Tillämpad på mikroglia från näthinnan påvisar metoden organellspecifik struktur: CD68-positiva lysosomer uppvisar olika omorganisation beroende på näthinnelager och skada, medan den mitokondriella organisationen förblir mer tätt kopplad till den underliggande förgreningsmorfologin.

Den tredje delen av avhandlingen studerar hur stabila homologiska invarianter kan användas i maskininlärning. Stable ranks skapar en brygga mellan persistensmoduler och funktionsrum eller ändligdimensionella vektorrum, vilket gör homologisk information tillgänglig för kärnmetoder och neurala nätverk. Vi introducerar stable rank kernels, där valet av metrik på persistensmoduler avgör vilken geometri kärnan ser, och visar att variation av denna metrik genom contours kan förbättra prestanda i övervakad inlärning. Vi studerar också subsamplingsbaserade stable ranks, där man upprepade gånger samplar från en sannolikhetsfördelning på en referensdatamängd, beräknar homologiska invarianter och bildar medelvärdet av de resulterande stable ranks. Detta ger både globala deskriptorer av datamängder och relativa deskriptorer av punkter med avseende på referensobjektet.

Slutligen undersöker vi robusthet i homologibaserad inlärning. Persistent homologi är stabil med avseende på lämpliga metriker, men denna stabilitet kan gå förlorad när persistensmoduler används i obegränsade neurala nätverk. Vi introducerar därför ett stable rank network som kombinerar vektorisering av persistensmodulen med Lipschitz-neurala nätverkslager. Denna arkitektur har en kontrollerad Lipschitzkonstant och ger robusthetscertifikat per datapunkt i Wasserstein- eller bottleneck-avstånd. Resultatet visar att topologisk stabilitet kan bevaras genom en inlärningspipeline och användas för att certifiera robusthet mot adversariella perturbationer.

Link to DiVA