Existence, uniqueness, and regularity theory for local and nonlocal problems

QC 2025-12-02

Abstract

Denna avhandling består av tre artiklar, en individuell sammanfattning av varje artikel samt en introduktion. Artiklarna är alla relaterade till existens-, entydighets- eller regularitetsteori för lokala och icke-lokala partiella differentialekvationer (PDE:er).

I Artikel A visar vi entydighet för viskositetslösningar till den inhomogena icke-lokala oändlighets-Laplaceekvationen Lu = f, där högerledet f är en begränsad, kontinuerlig och icke-positiv funktion. Vi visar en jämförelseprincip från vilken entydighet följer direkt.

I Artikel B använder vi Perron's metod för att konstruera viskositetslösningar till ekvationen ∂u/∂t = Lu i Ω, där u=g i komplementet.

I Artikel C studerar vi de reguljära egenskaperna hos en minimerare av funktionalen J(u) := ∫ F(∇u) dx, där F(x) är en starkt konvex funktion vars andraderivator kan vara diskontinuerliga då |x|=1. Den specifika strukturen hos F ger upphov till en fri rand Γ, och den resulterande Euler–Lagrange-ekvationen beror av den fria randen. I denna artikel studerar vi enbart tvåfas-punkter. Vi visar att givet några regularitets- och icke-degenereringsantaganden så kan den asymptotiska expansionen av en minimerare u uttryckas som u(x)= a + ν · x + p(x) + q(x), där a ∈ R, ν∈ R^n. Funktionen p är ett så kallat brutet polynom, vilket vi definierar som en C^1-funktion som består av ett polynom i övre halvrymden respektive ett annat polynom i nedre halvrymden. Funktionen q är en restterm med väldigt liten L^2-norm. Vi härleder de partiella differentialekvationerna som p respektive q löser samt visar flera regularitetsresultat för dessa termer. Den här artikeln är avsedd att vara den första delen i ett projekt som syftar till att visa reguljaritetsegenskaper hos Γ.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-373533