Till KTH:s startsida Till KTH:s startsida

Genomförda tentamina

Tentamen 7 januari 2016 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 23 oktober 2015 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 7 januari 2015 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 23 oktober 2014 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 8 januari 2014 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 24 oktober 2013 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 10 januari 2013 samt svar och lösningsförslag .

Tentamen 18 oktober 2012 samt svar och lösningsförslag .

Tentamen 18 februari 2012 samt svar och lösningsförslag

Tentamen 20 oktober 2011  samt svar och lösningsförslag .

 

Hans Thunberg skapade sidan 14 augusti 2015

Assistent kommenterade 22 oktober 2015

Lösningsskiss till Uppgift 7 Tentamen från 8 januari 2014 

Tanken är att appoiximera integralen med Riemannsummor , dvs att ersätta området mellan x-axeln och kurvan y=2^x med rektanglar som ger ett litet för stort värde respektive litet för litet värde, som stänger in värdet på själva integralen.

  1. Skissera grafen y = 2^x  över intervallet [0, 1 ] . Det viktiga är att konstatera att funktionen är växande och att f(0)=1 och f(1) = 2 .  Speciellt är funktionen positiv överallt (så vi kan verkligen tänka på integralen som  ”arean mellan kurvan och x-axeln”)
  2. Den grövsta approximationen är att approximera över hela integrationsintervallet i ett svep med rektanglar,
    1. en som har höjd = funktionens minsta värde = f(0)= 1 och som följaktligen har area = b * h  = 1 *1 = 1
    2. en som har höjd = funktionens maxvärde = f(1) = 2 och som följaktligen har area = b * h  = 1 *2 = 2

Alltså ligger integralens värde mellan 1 och 2 – detta är dock inte tillräckligt bra approximation, uppgiften kräver lite ”snävare” instängning av värdet

  1. Pröva därför istället att dela integrationsintervallet [0,1] i två lika delar [0, 1/2]  och [1/2 , 1] och approximera på motsvarande sätt med rektanglar som har höjd = lika med maxvärde respektive minvärde på vardera intervallet. Rita figur!
    1. Om vi summerar arena av de två rektanglar som har ”minimihöjd” får vi   L = ½ * f(0) + ½ * f(1/2) = ½ * 1 + ½ * ”roten ur två”
    2. Om vi summerar arean av de två rektanglar som har ”maximihöjd” får vi U =½ * f(1/2) + ½* f(1) = ½ * ”roten ur två” + ½ * 2
    3. Det följer att L < integralen < U  VSB.

( Bokstaven L valdes som förkortning för "Lower sum" , en summa som säkert är mindre än integralens värde, och U valdes som förkortning för "Upper sum" en summa vars värde säkert är större än integralens värde)

Anmäl missbruk